Calculadora de Producto Cruz – Producto Vectorial
Calcula el producto cruz de dos vectores 3D
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Ingresa los componentes x, y, z del primer vector
- Ingresa los componentes x, y, z del segundo vector
- Haz clic en calcular para ver el resultado del producto cruz
- Visualiza el vector resultante y su magnitud
¿Qué es el Producto Cruz?
El producto cruz (también llamado producto vectorial) es una operación binaria sobre dos vectores en el espacio tridimensional. Produce un vector perpendicular a ambos vectores de entrada, con una magnitud igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores.
Fórmula
Para vectores A = (a₁, a₂, a₃) y B = (b₁, b₂, b₃):
A × B = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)
Propiedades del Producto Cruz
- Anti-conmutativo: A × B = -(B × A)
- Distributivo: A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
- No asociativo: A × (B × C) ≠ (A × B) × C
- Resultado perpendicular: El resultado es perpendicular a ambos vectores de entrada
- Cero para vectores paralelos: Si A y B son paralelos, A × B = 0
- Magnitud: |A × B| = |A| |B| sen(θ), donde θ es el ángulo entre vectores
Aplicaciones en el Mundo Real
Física
- Cálculo de torque (τ = r × F)
- Encontrar fuerza magnética (F = q(v × B))
- Momento angular (L = r × p)
- Determinar ejes de rotación
Ingeniería y Gráficos por Computadora
- Modelado y renderizado 3D
- Cálculos de normales de superficie
- Detección de colisiones
- Robótica y planificación de movimiento
- Desarrollo de videojuegos
Matemáticas
- Encontrar vectores perpendiculares
- Calcular áreas de paralelogramos
- Determinar ecuaciones de planos
- Operaciones de espacios vectoriales
Cómo Calcular el Producto Cruz
Para calcular A × B donde A = (a₁, a₂, a₃) y B = (b₁, b₂, b₃):
- Componente X: a₂b₃ - a₃b₂
- Componente Y: a₃b₁ - a₁b₃
- Componente Z: a₁b₂ - a₂b₁
Ejemplo: A = (1, 2, 3) y B = (4, 5, 6)
- X = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3
- Y = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6
- Z = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3
Resultado: A × B = (-3, 6, -3)
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre producto punto y producto cruz?
- El producto punto produce un escalar (un solo número) y mide cuánto dos vectores apuntan en la misma dirección. El producto cruz produce un vector perpendicular a ambos vectores de entrada y mide el área del paralelogramo que forman.
- ¿Por qué el producto cruz solo está definido en 3D?
- El producto cruz está específicamente definido para vectores 3D porque se basa en las propiedades únicas del espacio tridimensional. Aunque existen generalizaciones a otras dimensiones, la operación estándar de producto cruz es inherentemente tridimensional.
- ¿Qué significa si el producto cruz es cero?
- Si A × B = 0, significa que los vectores son paralelos (apuntando en la misma dirección o en direcciones opuestas). La magnitud del producto cruz es |A| |B| sen(θ), que es igual a cero cuando θ = 0° o 180°.
- ¿Cómo determino la dirección del producto cruz?
- Usa la regla de la mano derecha: apunta tus dedos en la dirección del primer vector, enróllalos hacia el segundo vector, y tu pulgar apunta en la dirección del producto cruz. El resultado es perpendicular a ambos vectores de entrada.