Calculadora de Proyección Ortogonal – Proyección Vectorial
Calcula la proyección de un vector sobre otro
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Ingresa los componentes x, y, z del vector u (el vector a proyectar)
- Ingresa los componentes x, y, z del vector v (el vector sobre el cual proyectar)
- Haz clic en calcular para ver el resultado de la proyección
- Visualiza el vector proyección, magnitud y proyección escalar
¿Qué es la Proyección Ortogonal?
La proyección ortogonal del vector u sobre el vector v es el componente de u que yace en la dirección de v. Geométricamente, es la sombra que u proyectaría sobre v si la luz brillara perpendicular a v.
La fórmula de proyección es: proy_v(u) = (u · v / |v|²) × v, donde u · v es el producto punto y |v| es la magnitud de v.
Proyección Vectorial vs Escalar
- Proyección Vectorial: El componente vectorial real de u en la dirección de v. Tiene magnitud y dirección.
- Proyección Escalar: La longitud con signo de la proyección. Positiva si u y v apuntan en direcciones similares, negativa si son opuestas.
La proyección escalar se calcula como: comp_v(u) = u · v / |v|
Aplicaciones de la Proyección Vectorial
- Física: Descomposición de fuerzas en componentes, cálculos de trabajo
- Gráficos por Computadora: Cálculos de sombras, modelos de iluminación
- Aprendizaje Automático: Extracción de características, reducción de dimensionalidad
- Ingeniería: Análisis estructural, procesamiento de señales
- Navegación: Encontrar distancia a lo largo de un camino o dirección
Propiedades de la Proyección Ortogonal
- Idempotente: Proyectar una proyección da el mismo resultado
- Lineal: proy(au + bw) = a·proy(u) + b·proy(w)
- Complemento Ortogonal: u - proy_v(u) es perpendicular a v
- Límite de Magnitud: |proy_v(u)| ≤ |u|
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre proyección vectorial y escalar?
- La proyección vectorial te da un vector en la dirección de v con la longitud apropiada. La proyección escalar te da solo la longitud con signo (un número) de esa proyección. La proyección vectorial es igual a la proyección escalar multiplicada por el vector unitario en la dirección de v.
- ¿Qué sucede si proyecto sobre un vector cero?
- Proyectar sobre un vector cero es matemáticamente indefinido porque ocurre división por cero. Nuestra calculadora devuelve un vector cero en este caso para manejar el caso límite de manera elegante.
- ¿Cómo se relaciona la proyección con el producto punto?
- El producto punto u · v es igual a |u| |v| cos(θ), donde θ es el ángulo entre vectores. La proyección escalar es u · v / |v| = |u| cos(θ), que es el componente de u en la dirección de v.
- ¿Puede la proyección ser negativa?
- La proyección escalar puede ser negativa cuando el ángulo entre vectores es mayor que 90°. La proyección vectorial apunta en la dirección opuesta a v en este caso.