Calculadora de Prueba de la Razón – Convergencia de Series
Prueba la convergencia de series usando la prueba de la razón (criterio de D'Alembert)
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Selecciona el tipo de serie que deseas analizar
- Ingresa los parámetros requeridos para tu serie
- Haz clic en calcular para aplicar la prueba de la razón
- Visualiza el resultado de convergencia y la explicación
¿Qué es la Prueba de la Razón?
La prueba de la razón (también conocida como criterio de D'Alembert) es un método para determinar si una serie infinita converge o diverge. Examina el límite de la razón de términos consecutivos.
Para una serie Σaₙ, calcula L = lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ|. Entonces: si L < 1, la serie converge absolutamente; si L > 1, la serie diverge; si L = 1, la prueba es inconclusa.
Cuándo Usar la Prueba de la Razón
La prueba de la razón es particularmente efectiva para series que involucran:
- Factoriales (n!)
- Exponenciales (aⁿ)
- Productos de factoriales y exponenciales
- Series de potencias (para encontrar el radio de convergencia)
Limitaciones
La prueba de la razón es inconclusa (L = 1) para muchas series importantes:
- Series P (Σ1/n^p) - usa la prueba de series p en su lugar
- Serie armónica (Σ1/n) - diverge
- Serie armónica alternante - usa la prueba de series alternantes
Ejemplos Comunes
Serie geométrica Σrⁿ: L = |r|, converge si |r| < 1
Serie factorial Σ1/n!: L = 0, converge
Serie exponencial Σxⁿ/n!: L = 0, converge para todo x
Preguntas frecuentes
- ¿Qué significa cuando la prueba de la razón es inconclusa?
- Cuando L = 1, la prueba de la razón no puede determinar la convergencia. Necesitas usar otra prueba como la prueba de la raíz, prueba de comparación, prueba integral o prueba de series alternantes dependiendo de la estructura de la serie.
- ¿Cuál es la diferencia entre la prueba de la razón y la prueba de la raíz?
- Ambas pruebas examinan límites similares pero usan enfoques diferentes. La prueba de la razón observa |aₙ₊₁/aₙ|, mientras que la prueba de la raíz examina |aₙ|^(1/n). A menudo dan el mismo resultado, pero a veces una es más fácil de calcular que la otra.
- ¿Puede la prueba de la razón determinar convergencia condicional?
- No, la prueba de la razón solo determina convergencia absoluta. Si L < 1, la serie converge absolutamente. Para convergencia condicional (converge pero no absolutamente), necesitas otras pruebas como la prueba de series alternantes.
- ¿Por qué funciona la prueba de la razón?
- La prueba de la razón compara tu serie con una serie geométrica. Si la razón de términos consecutivos se aproxima a un valor menor que 1, la serie se comporta como una serie geométrica convergente. Si es mayor que 1, se comporta como una serie geométrica divergente.