Calculadora de Punto Crítico – Encontrar Máximos, Mínimos, Puntos de Inflexión
Encuentra puntos críticos, máximos, mínimos usando derivadas
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Ingresa tu función usando notación polinómica (ej., x^3 - 3*x^2 + 2*x)
- Usa * para multiplicación y ^ para exponentes
- Haz clic en calcular para encontrar todos los puntos críticos
- Revisa el tipo de cada punto (mínimo, máximo o inflexión)
¿Qué son los Puntos Críticos?
Los puntos críticos de una función son puntos donde la derivada es cero o indefinida. Estos puntos son importantes porque a menudo corresponden a máximos locales, mínimos locales o puntos de inflexión.
Para encontrar puntos críticos, resolvemos f'(x) = 0 para x. Luego usamos la prueba de la segunda derivada para determinar la naturaleza de cada punto crítico.
Prueba de la Segunda Derivada
La prueba de la segunda derivada ayuda a clasificar los puntos críticos:
- Si f''(x) > 0 en un punto crítico, el punto es un mínimo local
- Si f''(x) < 0 en un punto crítico, el punto es un máximo local
- Si f''(x) = 0, la prueba no es concluyente (puede ser un punto de inflexión)
- Usa la prueba de la primera derivada como alternativa cuando la prueba de la segunda derivada falla
Pasos para Encontrar Puntos Críticos
- Calcula la primera derivada f'(x)
- Resuelve f'(x) = 0 para encontrar puntos candidatos
- Calcula la segunda derivada f''(x)
- Evalúa f''(x) en cada punto crítico
- Clasifica cada punto según el signo de f''(x)
- Calcula la coordenada y evaluando f(x) en cada x crítica
Aplicaciones
- Problemas de optimización: encontrar máxima ganancia o mínimo costo
- Física: analizar movimiento y encontrar extremos de energía potencial
- Economía: determinar niveles óptimos de producción
- Ingeniería: optimizar parámetros de diseño
- Análisis de datos: encontrar picos y valles en datos
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre extremos locales y globales?
- Los extremos locales son los puntos más altos o más bajos en un vecindario alrededor de ellos. Los extremos globales son los puntos absolutamente más altos o más bajos sobre todo el dominio. Un máximo local podría no ser el máximo global.
- ¿Puede una función no tener puntos críticos?
- Sí. Las funciones lineales (como f(x) = 2x + 3) tienen derivadas constantes y ningún punto donde la derivada sea igual a cero. Las funciones monótonamente crecientes o decrecientes pueden no tener puntos críticos.
- ¿Qué pasa si la segunda derivada es cero?
- Cuando f''(x) = 0, la prueba de la segunda derivada no es concluyente. Debes usar la prueba de la primera derivada en su lugar, verificando cómo f'(x) cambia de signo alrededor del punto crítico.