Calculadora de Series de Potencias – Series de Taylor y Maclaurin
Calcula expansiones de series de potencias para funciones comunes
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Selecciona el tipo de función (exponencial, seno, coseno, ln o geométrica)
- Ingresa el punto central (0 para series de Maclaurin)
- Especifica el número de términos a calcular
- Ingresa el valor en el cual evaluar la serie
- Haz clic en calcular para ver la expansión de la serie y la aproximación
¿Qué es una Serie de Potencias?
Una serie de potencias es una serie infinita de la forma Σ aₙ(x-a)ⁿ, donde aₙ son los coeficientes, x es la variable y a es el punto central. Las series de potencias se usan para representar funciones como sumas infinitas de términos polinomiales.
Cuando el punto central a = 0, la serie se llama serie de Maclaurin. Cuando a ≠ 0, se llama serie de Taylor centrada en a.
Series de Potencias Comunes
| Función | Serie de Potencias | Convergencia |
|---|---|---|
| e^x | Σ xⁿ/n! | Todo x real |
| sin(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)! | Todo x real |
| cos(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n)/(2n)! | Todo x real |
| ln(1+x) | Σ (-1)^(n+1)xⁿ/n | -1 < x ≤ 1 |
| 1/(1-x) | Σ xⁿ | |x| < 1 |
Fórmula de la Serie de Taylor
La serie de Taylor de una función f(x) centrada en a es:
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! × (x-a)ⁿ para n = 0 hasta ∞
Donde f⁽ⁿ⁾(a) es la derivada n-ésima de f evaluada en x = a.
Convergencia y Radio
Cada serie de potencias tiene un radio de convergencia R, que determina dónde converge la serie:
- La serie converge absolutamente para |x - a| < R
- La serie diverge para |x - a| > R
- En |x - a| = R, la convergencia debe probarse por separado
- R puede encontrarse usando el criterio del cociente o de la raíz
Aplicaciones de las Series de Potencias
- Aproximar valores de funciones
- Resolver ecuaciones diferenciales
- Evaluar límites e integrales
- Análisis numérico y computación
- Cálculos de física e ingeniería
- Procesamiento de señales y análisis de Fourier
- Gráficos por computadora y animación
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre las series de Taylor y Maclaurin?
- Una serie de Maclaurin es un caso especial de una serie de Taylor donde el punto central es 0. Las series de Taylor pueden centrarse en cualquier punto a, mientras que las series de Maclaurin siempre están centradas en x = 0.
- ¿Cuántos términos necesito para una buena aproximación?
- Depende de la función y de qué tan cerca esté x del punto central. Generalmente, más términos dan mejor precisión. Para la mayoría de propósitos prácticos, 5-10 términos proporcionan buenas aproximaciones cerca del centro.
- ¿Por qué la serie a veces da valores incorrectos?
- Las series de potencias solo convergen dentro de su radio de convergencia. Por ejemplo, ln(1+x) solo converge para -1 < x ≤ 1, así que evaluar en x = 2 dará resultados incorrectos.
- ¿Puedo usar series de potencias para cualquier función?
- No todas las funciones tienen representaciones en series de potencias. Una función debe ser infinitamente diferenciable en el punto central para tener una serie de Taylor. Algunas funciones, como |x|, no tienen series de potencias en ciertos puntos.