Calculadora de Sistema de Ecuaciones Diferenciales
Analiza sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con análisis de valores propios
Tabla de Contenidos
Cómo Usar
- Ingresa el coeficiente a₁₁ para el término x de la primera ecuación
- Ingresa el coeficiente a₁₂ para el término y de la primera ecuación
- Ingresa el coeficiente a₂₁ para el término x de la segunda ecuación
- Ingresa el coeficiente a₂₂ para el término y de la segunda ecuación
- Haz clic en Calcular para ver valores propios, vectores propios y análisis de estabilidad
¿Qué son los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales?
Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales describe cómo múltiples variables cambian con el tiempo en relación entre sí. El sistema 2×2 tiene la forma: dx/dt = a₁₁x + a₁₂y y dy/dt = a₂₁x + a₂₂y.
Estos sistemas aparecen en física (osciladores acoplados), biología (modelos depredador-presa), economía (dinámica oferta-demanda) e ingeniería (sistemas de control).
Análisis de Valores Propios
Los valores propios determinan el comportamiento de las soluciones. Se encuentran resolviendo det(A - λI) = 0, lo que da λ² - (traza)λ + (determinante) = 0.
| Valores Propios | Clasificación | Comportamiento |
|---|---|---|
| Reales, ambos negativos | Nodo estable | Las soluciones se acercan al origen |
| Reales, ambos positivos | Nodo inestable | Las soluciones se alejan del origen |
| Reales, signos opuestos | Punto de silla | Inestable con direcciones estables/inestables |
| Complejos con parte real negativa | Espiral estable | Espiral hacia el origen |
| Complejos con parte real positiva | Espiral inestable | Espiral alejándose del origen |
| Imaginarios puros | Centro | Órbitas cerradas alrededor del origen |
Criterios de Estabilidad
La estabilidad del equilibrio en el origen depende de la traza y el determinante:
- Si det < 0: punto de silla (inestable)
- Si det > 0 y tr < 0: estable (nodo o espiral)
- Si det > 0 y tr > 0: inestable (nodo o espiral)
- Si det > 0 y tr = 0: centro (neutralmente estable)
- El discriminante tr² - 4det determina si los valores propios son reales o complejos
Aplicaciones en el Mundo Real
- Dinámica de poblaciones: interacciones depredador-presa (ecuaciones de Lotka-Volterra)
- Sistemas mecánicos: resortes y péndulos acoplados
- Circuitos eléctricos: circuitos RLC con múltiples bucles
- Reacciones químicas: cinética de reacción con múltiples especies
- Economía: equilibrio de mercado y dinámica de precios
- Teoría de control: sistemas de retroalimentación y análisis de estabilidad
Preguntas frecuentes
- ¿Qué nos dicen los valores propios sobre el sistema?
- Los valores propios determinan cómo evolucionan las soluciones con el tiempo. Los valores propios reales indican crecimiento o decaimiento exponencial, mientras que los valores propios complejos indican comportamiento oscilatorio. El signo de la parte real determina la estabilidad.
- ¿Para qué se utilizan los vectores propios?
- Los vectores propios muestran las direcciones a lo largo de las cuales se mueven las soluciones. Forman la base para la solución general y ayudan a visualizar el retrato de fase del sistema.
- ¿Qué significa 'estable' en este contexto?
- Un sistema estable significa que las soluciones que comienzan cerca del punto de equilibrio (origen) se acercarán a él a medida que aumenta el tiempo. Un sistema inestable significa que las soluciones se alejan del equilibrio.
- ¿Puede esta calculadora manejar sistemas no lineales?
- No, esta calculadora está diseñada solo para sistemas lineales. Los sistemas no lineales requieren linealización alrededor de puntos de equilibrio antes de que se pueda aplicar este análisis.