Adjunct Matrix Calculator
Bereken adjunct matrix met stappen
Hoe te Gebruiken
- Selecteer de matrixgrootte (2×2 of 3×3)
- Voer de matrixelementen in
- Klik op berekenen om de adjunct matrix, cofactormatrix en determinant te zien
- Bekijk de stapsgewijze oplossing
Wat is een Adjunct Matrix?
De adjunct (of klassieke geadjungeerde) van een vierkante matrix is de getransponeerde van haar cofactormatrix. Het is een belangrijk concept in lineaire algebra dat wordt gebruikt voor het vinden van matrix-inversen en het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen.
Belangrijke Formule
adj(A) = (cofactormatrix)ᵀ
De inverse van een matrix A kan worden berekend als: A⁻¹ = adj(A) / det(A)
Hoe de Adjunct Matrix te Berekenen
Voor 2×2 Matrices
Gegeven een 2×2 matrix:
A = [[a, b], [c, d]]
De adjunct is:
adj(A) = [[d, -b], [-c, a]]
Verwissel simpelweg de diagonale elementen en verander de tekens van de niet-diagonale elementen.
Voor 3×3 Matrices
Stap 1: Bereken de cofactor voor elk element
Voor elk element aᵢⱼ, verwijder rij i en kolom j, bereken de determinant van de resterende 2×2 matrix en vermenigvuldig met (-1)^(i+j)
Stap 2: Maak de cofactormatrix van alle cofactoren
Stap 3: Transponeer de cofactormatrix om de adjunct te krijgen
Cofactoren en Minoren
Het begrijpen van cofactoren is essentieel voor het berekenen van de adjunct matrix:
Minor
De minor Mᵢⱼ van element aᵢⱼ is de determinant van de matrix die overblijft na het verwijderen van rij i en kolom j.
Cofactor
De cofactor Cᵢⱼ wordt berekend als: Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ
Het teken volgt een schaakbordpatroon beginnend met + in de linkerbovenhoek.
Toepassingen van Adjunct Matrices
Adjunct matrices hebben belangrijke toepassingen in wiskunde en techniek:
Veelvoorkomende Toepassingen
- Matrix Inversie: Inverse matrices berekenen met A⁻¹ = adj(A)/det(A)
- Regel van Cramer: Stelsels lineaire vergelijkingen oplossen
- Computergraphics: Transformaties en projecties
- Natuurkunde: Tensorberekeningen en coördinatentransformaties
- Techniek: Structurele analyse en regelsystemen
- Statistiek: Covariantiematrix-operaties
Veelgestelde vragen
- Wat is het verschil tussen adjunct en geadjungeerd?
- In de context van matrices verwijzen 'adjunct' en 'klassieke geadjungeerde' naar hetzelfde: de getransponeerde van de cofactormatrix. 'Geadjungeerd' kan echter ook verwijzen naar de geconjugeerd getransponeerde in complexe matrices, dus 'adjunct' heeft de voorkeur voor duidelijkheid.
- Hoe is de adjunct matrix gerelateerd aan de inverse?
- De adjunct wordt direct gebruikt om de inverse te vinden: A⁻¹ = adj(A) / det(A). Dit werkt alleen wanneer de determinant niet nul is. Als det(A) = 0, heeft de matrix geen inverse.
- Wat gebeurt er als de determinant nul is?
- Als det(A) = 0, is de matrix singulier (niet inverteerbaar). De adjunct bestaat nog steeds, maar je kunt deze niet gebruiken om een inverse te vinden. De matrix vertegenwoordigt een lineaire transformatie die de ruimte samendrukt.
- Waarom transponeren we de cofactormatrix?
- Het transponeren van de cofactormatrix zorgt ervoor dat de relatie A × adj(A) = det(A) × I geldt, waarbij I de eenheidsmatrix is. Deze eigenschap is fundamenteel voor het gebruik van de adjunct voor matrix-inversie.