Lagrange-multiplicator calculator
Optimaliseer een kwadratisch doel met één lineaire beperking.
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Voer de kwadratische coëfficiënten a, b, c in voor f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy.
- Stel de lineaire beperking d·x + e·y = k in.
- Voer de berekening uit om het Lagrange-systeem voor x, y en λ op te lossen.
- Bekijk het geoptimaliseerde punt en de doelwaarde op de beperkingslijn.
Hoe de Lagrange-methode werkt
Lagrange-multiplicatoren voegen de beperking toe aan het doel door λ maal de beperkingsvergelijking. Stationaire punten voldoen gelijktijdig aan de gradiëntequaties en de beperking.
- Stel de Lagrangiaan op L = f(x, y) + λ(d x + e y - k).
- Zet de partiële afgeleiden ∂L/∂x, ∂L/∂y en de beperking gelijk aan nul.
- Los het resulterende lineaire systeem op voor x, y en λ.
- Evalueer het doel bij het stationaire punt om de prestatie op de beperking te zien.
Modelaannames in deze calculator
- Het doel is kwadratisch in x en y: ax^2 + by^2 + cxy.
- Er is één lineaire gelijkheidsbeperking d·x + e·y = k.
- Een uniek stationair punt bestaat wanneer het lineaire systeem oplosbaar is.
- Als de determinant nul is, levert de methode geen unieke oplossing.
Gebruik deze opzet voor snelle intuïtie over begrensde kwadratische doelen. Complexere doelen of meerdere beperkingen vereisen een volledige symbolische oplosser.
Veelgestelde vragen
- Wat als d en e allebei nul zijn?
- De beperking wordt ondeugdelijk en beperkt het doel niet. Voer minstens één niet-nul coëfficiënt voor de beperking in om een geldig stationair punt te vinden.
- Hoe weet ik of dit punt een minimum of maximum is?
- De tool geeft het stationaire punt op de beperking. Om het te classificeren, bekijk de kwadratische vorm (bijvoorbeeld via eigenwaarden van de Hessiaan) of test nabijgelegen toelaatbare punten.
- Kan ik dit uitbreiden naar meer variabelen?
- De methode generaliseert, maar deze calculator richt zich op twee variabelen met één lineaire beperking voor duidelijkheid. Voor grotere systemen pas je dezelfde gradiënt- en beperkingsvergelijkingen toe met extra multiplicatoren.