Adjungierte Matrix Rechner
Berechnen Sie die adjungierte Matrix mit Schritten
Wie zu Verwenden
- Wählen Sie die Matrixgröße (2×2 oder 3×3)
- Geben Sie die Matrixelemente ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um die adjungierte Matrix, Kofaktormatrix und Determinante zu sehen
- Überprüfen Sie die schrittweise Lösung
Was ist eine Adjungierte Matrix?
Die Adjungierte (oder klassische Adjunkte) einer quadratischen Matrix ist die Transponierte ihrer Kofaktormatrix. Es ist ein Schlüsselkonzept in der linearen Algebra, das zur Berechnung von Matrixinversen und zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet wird.
Schlüsselformel
adj(A) = (Kofaktormatrix)ᵀ
Die Inverse einer Matrix A kann berechnet werden als: A⁻¹ = adj(A) / det(A)
Wie man die Adjungierte Matrix berechnet
Für 2×2 Matrizen
Gegeben eine 2×2 Matrix:
A = [[a, b], [c, d]]
Die Adjungierte ist:
adj(A) = [[d, -b], [-c, a]]
Tauschen Sie einfach die diagonalen Elemente aus und ändern Sie die Vorzeichen der außerdiagonalen Elemente.
Für 3×3 Matrizen
Schritt 1: Berechnen Sie den Kofaktor für jedes Element
Für jedes Element aᵢⱼ entfernen Sie Zeile i und Spalte j, berechnen Sie die Determinante der verbleibenden 2×2 Matrix und multiplizieren Sie mit (-1)^(i+j)
Schritt 2: Erstellen Sie die Kofaktormatrix aus allen Kofaktoren
Schritt 3: Transponieren Sie die Kofaktormatrix, um die Adjungierte zu erhalten
Kofaktoren und Minoren
Das Verständnis von Kofaktoren ist wesentlich für die Berechnung der adjungierten Matrix:
Minor
Der Minor Mᵢⱼ des Elements aᵢⱼ ist die Determinante der Matrix, die nach Entfernung von Zeile i und Spalte j übrig bleibt.
Kofaktor
Der Kofaktor Cᵢⱼ wird berechnet als: Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ
Das Vorzeichen folgt einem Schachbrettmuster, beginnend mit + in der oberen linken Ecke.
Anwendungen von Adjungierten Matrizen
Adjungierte Matrizen haben wichtige Anwendungen in Mathematik und Ingenieurwesen:
Häufige Verwendungen
- Matrixinversion: Inverse Matrizen berechnen mit A⁻¹ = adj(A)/det(A)
- Cramersche Regel: Lineare Gleichungssysteme lösen
- Computergrafik: Transformationen und Projektionen
- Physik: Tensorberechnungen und Koordinatentransformationen
- Ingenieurwesen: Strukturanalyse und Regelungssysteme
- Statistik: Kovarianzmatrix-Operationen
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen adjungiert und adjunkt?
- Im Kontext von Matrizen beziehen sich 'adjungiert' und 'klassische Adjunkte' auf dasselbe: die Transponierte der Kofaktormatrix. 'Adjunkt' kann sich jedoch auch auf die konjugiert Transponierte bei komplexen Matrizen beziehen, daher wird 'adjungiert' für mehr Klarheit bevorzugt.
- Wie hängt die adjungierte Matrix mit der Inversen zusammen?
- Die Adjungierte wird direkt zur Berechnung der Inversen verwendet: A⁻¹ = adj(A) / det(A). Dies funktioniert nur, wenn die Determinante ungleich Null ist. Wenn det(A) = 0, hat die Matrix keine Inverse.
- Was passiert, wenn die Determinante Null ist?
- Wenn det(A) = 0, ist die Matrix singulär (nicht invertierbar). Die Adjungierte existiert noch, aber Sie können sie nicht verwenden, um eine Inverse zu finden. Die Matrix repräsentiert eine lineare Transformation, die den Raum kollabiert.
- Warum transponieren wir die Kofaktormatrix?
- Das Transponieren der Kofaktormatrix stellt sicher, dass die Beziehung A × adj(A) = det(A) × I gilt, wobei I die Einheitsmatrix ist. Diese Eigenschaft ist grundlegend für die Verwendung der Adjungierten zur Matrixinversion.