Betragswert-Ungleichungen Rechner
Betragswert-Ungleichungen mit Schritten lösen
Wie zu Verwenden
- Wählen Sie den Ungleichungstyp (< oder >)
- Geben Sie den Wert 'a' in |x - a| ein
- Geben Sie die Konstante 'b' ein (muss positiv sein)
- Klicken Sie auf Berechnen, um die Lösung und Intervallnotation zu sehen
Was sind Betragswert-Ungleichungen?
Betragswert-Ungleichungen beinhalten den Betragswert eines variablen Ausdrucks im Vergleich zu einer Konstante. Der Betragswert |x| stellt den Abstand von Null auf einer Zahlengerade dar, immer positiv oder null.
Zwei Haupttypen
Kleiner als: |x - a| < b bedeutet, dass x innerhalb von b Einheiten von a liegt
Größer als: |x - a| > b bedeutet, dass x mehr als b Einheiten von a entfernt ist
Wie man Betragswert-Ungleichungen löst
Typ 1: |x - a| < b
Dies erzeugt eine zusammengesetzte Ungleichung:
Schritt 1: Schreiben Sie als -b < x - a < b
Schritt 2: Addieren Sie a zu allen Teilen: -b + a < x < b + a
Beispiel: |x - 3| < 5 wird zu -5 < x - 3 < 5, also -2 < x < 8
Typ 2: |x - a| > b
Dies erzeugt zwei separate Ungleichungen:
Schritt 1: Schreiben Sie als x - a < -b ODER x - a > b
Schritt 2: Lösen Sie jede: x < a - b ODER x > a + b
Beispiel: |x - 3| > 5 ergibt x < -2 ODER x > 8
Intervallnotation
Die Intervallnotation bietet eine kompakte Möglichkeit, Lösungsmengen auszudrücken:
Symbole
- (a, b) - Offenes Intervall: Werte zwischen a und b, ohne Endpunkte
- [a, b] - Geschlossenes Intervall: Werte zwischen a und b, einschließlich Endpunkte
- ∪ - Vereinigung: kombiniert zwei oder mehr Intervalle
- ∞ - Unendlich: erstreckt sich ohne Grenze
Beispiele
-2 < x < 8 → (−2, 8)
x < -2 oder x > 8 → (−∞, −2) ∪ (8, ∞)
Anwendungen in der realen Welt
Betragswert-Ungleichungen modellieren Situationen mit Toleranz, Fehlergrenzen und akzeptablen Bereichen:
Häufige Anwendungen
- Fertigung: Teilemaße müssen innerhalb der Toleranz liegen (z.B. |d - 5| < 0,02 cm)
- Temperaturkontrolle: Raumtemperatur innerhalb eines Bereichs gehalten
- Qualitätskontrolle: Produktgewichte innerhalb akzeptabler Grenzen
- Physik: Messunsicherheit und Fehlergrenzen
- Statistik: Konfidenzintervalle und Standardabweichungen
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen |x - a| < b und |x - a| > b?
- Kleiner als (<) ergibt ein einzelnes kontinuierliches Intervall von Werten zwischen zwei Grenzen, während größer als (>) zwei separate Intervalle ergibt, die sich von zwei Grenzen nach außen erstrecken. Denken Sie an < als 'nahe bei a' und > als 'weit weg von a'.
- Warum muss die Konstante b positiv sein?
- Da Betragswerte immer nicht-negativ sind, erzeugt der Vergleich mit einer negativen Zahl unmögliche (<) oder immer wahre (>) Aussagen. Eine positive Konstante gewährleistet sinnvolle Lösungen.
- Woher weiß ich, welchen Ungleichungstyp ich verwenden soll?
- Verwenden Sie <, wenn Sie Werte innerhalb einer bestimmten Entfernung von einem Punkt wünschen, und verwenden Sie >, wenn Sie Werte außerhalb einer bestimmten Entfernung wünschen. Zum Beispiel verwendet Temperatur innerhalb von ±5° <, während das Vermeiden einer Gefahrenzone > verwendet.
- Was bedeutet die Intervallnotation (a, b)?
- Klammern zeigen offene Intervalle an, die die Endpunkte nicht einschließen. Also bedeutet (−2, 8) alle Zahlen zwischen −2 und 8, aber nicht −2 oder 8 selbst. Eckige Klammern [ ] würden die Endpunkte einschließen.