Rechner für den Winkel zwischen zwei Vektoren
Bestimmen Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren mit nachvollziehbaren Schritten.
Setzen Sie ungenutzte Komponenten auf 0. Beide Vektoren müssen mindestens eine von Null verschiedene Komponente besitzen.
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die Komponenten von Vektor A in die erste Zeile ein.
- Geben Sie die Komponenten von Vektor B in die zweite Zeile ein.
- Klicken Sie auf Berechnen, um Skalarprodukt und Beträge zu ermitteln.
- Sehen Sie den Winkel in Grad und Bogenmaß sowie die Rechenschritte ein.
Den Vektorwinkel verstehen
Der Winkel zwischen zwei Vektoren beschreibt, wie unterschiedlich ihre Richtungen sind. Er wird bestimmt, indem man einen Vektor mittels des Skalarprodukts auf den anderen projiziert.
Zentrale Beziehung
A · B = |A| |B| cos(θ)
Um θ zu erhalten nutzen wir den Arkuskosinus des normalisierten Skalarprodukts.
Geometrische Deutung
Das Skalarprodukt misst, wie stark zwei Vektoren aufeinander ausgerichtet sind. Zeigen sie in dieselbe Richtung, nähert sich der Kosinus 1; zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen, nähert er sich -1.
Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht der Fläche des von beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms und ist maximal bei senkrechten Vektoren.
Spezielle Fälle
- θ = 0° → parallele Vektoren in gleicher Richtung.
- θ = 90° → orthogonale (senkrechte) Vektoren.
- θ = 180° → parallele Vektoren in entgegengesetzter Richtung.
Anwendungsbereiche
- Computergrafik: Berechnung von Beleuchtung und Schattierung.
- Physik: Arbeit einer Kraft entlang eines Weges.
- Robotik: Vergleich von Orientierungsvektoren.
- Maschinelles Lernen: Kosinus-Ähnlichkeit für Texte und Embeddings.
- Navigation: Analyse relativer Bewegungsrichtungen.
Häufig gestellte Fragen
- Kann ich die z-Komponente für 2D-Vektoren leer lassen?
- Ja. Setzen Sie die z-Komponente beider Vektoren auf 0 und der Rechner behandelt sie als 2D-Vektoren im 3D-Raum.
- Warum begrenzen wir den Kosinus auf den Bereich [-1, 1]?
- Numerische Rundungen können den Kosinus minimal außerhalb des gültigen Bereichs bringen. Durch das Begrenzen bleibt der Arkuskosinus stabil und verhindert nicht definierte Ergebnisse.
- Was passiert, wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist?
- Der Winkel ist nicht definiert, weil der Nullvektor keine Richtung besitzt. Der Rechner verhindert diese Eingabe, um gültige Berechnungen sicherzustellen.