Calculateur de Matrice Adjointe
Calculez la matrice adjointe avec étapes
Comment Utiliser
- Sélectionnez la taille de la matrice (2×2 ou 3×3)
- Entrez les éléments de la matrice
- Cliquez sur calculer pour voir la matrice adjointe, la matrice des cofacteurs et le déterminant
- Consultez la solution étape par étape
Qu'est-ce qu'une Matrice Adjointe ?
La matrice adjointe (ou comatrice classique) d'une matrice carrée est la transposée de sa matrice des cofacteurs. C'est un concept clé en algèbre linéaire utilisé pour trouver les inverses de matrices et résoudre des systèmes d'équations linéaires.
Formule Clé
adj(A) = (matrice des cofacteurs)ᵀ
L'inverse d'une matrice A peut être calculée comme : A⁻¹ = adj(A) / det(A)
Comment Calculer la Matrice Adjointe
Pour les Matrices 2×2
Soit une matrice 2×2 :
A = [[a, b], [c, d]]
L'adjointe est :
adj(A) = [[d, -b], [-c, a]]
Il suffit d'échanger les éléments diagonaux et de changer les signes des éléments hors diagonale.
Pour les Matrices 3×3
Étape 1 : Calculez le cofacteur pour chaque élément
Pour chaque élément aᵢⱼ, supprimez la ligne i et la colonne j, calculez le déterminant de la matrice 2×2 restante et multipliez par (-1)^(i+j)
Étape 2 : Créez la matrice des cofacteurs à partir de tous les cofacteurs
Étape 3 : Transposez la matrice des cofacteurs pour obtenir l'adjointe
Cofacteurs et Mineurs
Comprendre les cofacteurs est essentiel pour calculer la matrice adjointe :
Mineur
Le mineur Mᵢⱼ de l'élément aᵢⱼ est le déterminant de la matrice qui reste après avoir supprimé la ligne i et la colonne j.
Cofacteur
Le cofacteur Cᵢⱼ est calculé comme : Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ
Le signe suit un motif en damier commençant par + dans le coin supérieur gauche.
Applications des Matrices Adjointes
Les matrices adjointes ont des applications importantes en mathématiques et en ingénierie :
Utilisations Courantes
- Inversion de Matrices : Calculer les matrices inverses en utilisant A⁻¹ = adj(A)/det(A)
- Règle de Cramer : Résoudre des systèmes d'équations linéaires
- Infographie : Transformations et projections
- Physique : Calculs tensoriels et transformations de coordonnées
- Ingénierie : Analyse structurelle et systèmes de contrôle
- Statistiques : Opérations sur les matrices de covariance
Questions fréquentes
- Quelle est la différence entre adjointe et comatrice ?
- Dans le contexte des matrices, 'adjointe' et 'comatrice classique' désignent la même chose : la transposée de la matrice des cofacteurs. Cependant, 'adjointe' peut également faire référence à la transposée conjuguée dans les matrices complexes, donc 'comatrice' est préférable pour plus de clarté.
- Comment la matrice adjointe est-elle liée à l'inverse ?
- L'adjointe est directement utilisée pour trouver l'inverse : A⁻¹ = adj(A) / det(A). Cela ne fonctionne que lorsque le déterminant est non nul. Si det(A) = 0, la matrice n'a pas d'inverse.
- Que se passe-t-il si le déterminant est zéro ?
- Si det(A) = 0, la matrice est singulière (non inversible). L'adjointe existe toujours, mais vous ne pouvez pas l'utiliser pour trouver un inverse. La matrice représente une transformation linéaire qui effondre l'espace.
- Pourquoi transposons-nous la matrice des cofacteurs ?
- La transposition de la matrice des cofacteurs garantit que la relation A × adj(A) = det(A) × I est vérifiée, où I est la matrice identité. Cette propriété est fondamentale pour utiliser l'adjointe dans l'inversion de matrices.