Cramers Regel Calculator – Lineaire Systemen Oplossen
Los lineaire systemen op met de regel van Cramer met determinanten
Hoe te Gebruiken
- Selecteer systeemgrootte (2x2 of 3x3)
- Voer coëfficiëntenmatrixrijen in op afzonderlijke regels
- Voer constante vectorwaarden in gescheiden door spaties
- Klik op berekenen om de oplossing te vinden met de regel van Cramer
Wat is de Regel van Cramer?
De regel van Cramer is een wiskundige stelling die wordt gebruikt om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen met hetzelfde aantal vergelijkingen als onbekenden. Het drukt de oplossing uit in termen van determinanten van matrices.
Voor een systeem Ax = b, waarbij A de coëfficiëntenmatrix is en b de constante vector, wordt elke variabele xᵢ berekend als: xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), waarbij Aᵢ de matrix A is met zijn i-de kolom vervangen door b.
Wanneer de Regel van Cramer Gebruiken
- Kleine systemen (2x2 of 3x3) waar handmatige berekening haalbaar is
- Wanneer je de oplossing nodig hebt in termen van determinanten
- Theoretische analyse en bewijzen
- Systemen waar de determinant al bekend of gemakkelijk te berekenen is
Voor grotere systemen of numerieke berekening zijn methoden zoals Gauss-eliminatie of LU-decompositie efficiënter.
Beperkingen
- Werkt alleen wanneer de coëfficiëntenmatrix vierkant is (zelfde aantal vergelijkingen en onbekenden)
- Vereist det(A) ≠ 0 (matrix moet niet-singulier zijn)
- Computationeel inefficiënt voor grote systemen (vereist n+1 determinantberekeningen)
- Gevoelig voor numerieke instabiliteit bij slecht geconditioneerde matrices
Voorbeeld: 2x2 Systeem
Oplossen: 2x + y = 8 en x + 3y = 13
det(A) = |2 1; 1 3| = 6 - 1 = 5
x = |8 1; 13 3| / 5 = (24 - 13) / 5 = 11/5 = 2.2
y = |2 8; 1 13| / 5 = (26 - 8) / 5 = 18/5 = 3.6
Veelgestelde vragen
- Wat gebeurt er als de determinant nul is?
- Als det(A) = 0, is de matrix singulier en heeft het systeem geen oplossing of oneindig veel oplossingen. De regel van Cramer kan in dit geval niet worden gebruikt.
- Is de regel van Cramer efficiënt voor grote systemen?
- Nee. De regel van Cramer vereist het berekenen van n+1 determinanten voor een n×n systeem, wat computationeel duur wordt. Methoden zoals Gauss-eliminatie zijn veel efficiënter voor systemen groter dan 3×3.
- Kan de regel van Cramer systemen oplossen met meer vergelijkingen dan onbekenden?
- Nee. De regel van Cramer is alleen van toepassing op vierkante systemen (zelfde aantal vergelijkingen als onbekenden). Voor overbepaalde of onderbepaalde systemen, gebruik kleinste kwadraten of andere methoden.