Differentiaalvergelijkingssysteem Calculator
Analyseer lineaire differentiaalvergelijkingssystemen met eigenwaardenanalyse
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Voer de coëfficiënt a₁₁ in voor de x-term van de eerste vergelijking
- Voer de coëfficiënt a₁₂ in voor de y-term van de eerste vergelijking
- Voer de coëfficiënt a₂₁ in voor de x-term van de tweede vergelijking
- Voer de coëfficiënt a₂₂ in voor de y-term van de tweede vergelijking
- Klik op Berekenen om eigenwaarden, eigenvectoren en stabiliteitsanalyse te zien
Wat zijn Differentiaalvergelijkingssystemen?
Een systeem van lineaire differentiaalvergelijkingen beschrijft hoe meerdere variabelen in de tijd veranderen in relatie tot elkaar. Het 2×2-systeem heeft de vorm: dx/dt = a₁₁x + a₁₂y en dy/dt = a₂₁x + a₂₂y.
Deze systemen komen voor in de natuurkunde (gekoppelde oscillatoren), biologie (roofdier-prooi-modellen), economie (vraag-aanbod-dynamiek) en techniek (regelsystemen).
Eigenwaardenanalyse
Eigenwaarden bepalen het gedrag van oplossingen. Ze worden gevonden door det(A - λI) = 0 op te lossen, wat λ² - (spoor)λ + (determinant) = 0 geeft.
| Eigenwaarden | Classificatie | Gedrag |
|---|---|---|
| Reëel, beide negatief | Stabiele knoop | Oplossingen naderen de oorsprong |
| Reëel, beide positief | Instabiele knoop | Oplossingen bewegen weg van de oorsprong |
| Reëel, tegengestelde tekens | Zadelpunt | Instabiel met stabiele/instabiele richtingen |
| Complex met negatief reëel deel | Stabiele spiraal | Spiraal naar binnen naar de oorsprong |
| Complex met positief reëel deel | Instabiele spiraal | Spiraal naar buiten van de oorsprong |
| Puur imaginair | Centrum | Gesloten banen rond de oorsprong |
Stabiliteitscriteria
De stabiliteit van het evenwicht bij de oorsprong hangt af van het spoor en de determinant:
- Als det < 0: zadelpunt (instabiel)
- Als det > 0 en tr < 0: stabiel (knoop of spiraal)
- Als det > 0 en tr > 0: instabiel (knoop of spiraal)
- Als det > 0 en tr = 0: centrum (neutraal stabiel)
- De discriminant tr² - 4det bepaalt of eigenwaarden reëel of complex zijn
Toepassingen in de Echte Wereld
- Populatiedynamica: roofdier-prooi-interacties (Lotka-Volterra-vergelijkingen)
- Mechanische systemen: gekoppelde veren en pendels
- Elektrische circuits: RLC-circuits met meerdere lussen
- Chemische reacties: reactiekinetiek met meerdere soorten
- Economie: marktevenwicht en prijsdynamiek
- Regeltheorie: feedbacksystemen en stabiliteitsanalyse
Veelgestelde vragen
- Wat vertellen eigenwaarden ons over het systeem?
- Eigenwaarden bepalen hoe oplossingen in de tijd evolueren. Reële eigenwaarden duiden op exponentiële groei of verval, terwijl complexe eigenwaarden oscillerend gedrag aangeven. Het teken van het reële deel bepaalt de stabiliteit.
- Waarvoor worden eigenvectoren gebruikt?
- Eigenvectoren tonen de richtingen waarlangs oplossingen bewegen. Ze vormen de basis voor de algemene oplossing en helpen het faseportret van het systeem te visualiseren.
- Wat betekent 'stabiel' in deze context?
- Een stabiel systeem betekent dat oplossingen die dicht bij het evenwichtspunt (oorsprong) beginnen, er naar toe zullen bewegen naarmate de tijd toeneemt. Een instabiel systeem betekent dat oplossingen zich van het evenwicht verwijderen.
- Kan deze calculator niet-lineaire systemen aan?
- Nee, deze calculator is alleen ontworpen voor lineaire systemen. Niet-lineaire systemen vereisen linearisatie rond evenwichtspunten voordat deze analyse kan worden toegepast.