Kruisproduct Calculator – Vectorproduct
Bereken het kruisproduct van twee 3D-vectoren
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Voer de x-, y- en z-componenten van de eerste vector in
- Voer de x-, y- en z-componenten van de tweede vector in
- Klik op berekenen om het kruisproduct resultaat te zien
- Bekijk de resulterende vector en zijn grootte
Wat is het Kruisproduct?
Het kruisproduct (ook wel vectorproduct genoemd) is een binaire bewerking op twee vectoren in de driedimensionale ruimte. Het produceert een vector die loodrecht staat op beide invoervectoren, met een grootte gelijk aan het oppervlak van het parallellogram gevormd door de twee vectoren.
Formule
Voor vectoren A = (a₁, a₂, a₃) en B = (b₁, b₂, b₃):
A × B = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)
Eigenschappen van het Kruisproduct
- Anti-commutatief: A × B = -(B × A)
- Distributief: A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
- Niet associatief: A × (B × C) ≠ (A × B) × C
- Loodrecht resultaat: Het resultaat staat loodrecht op beide invoervectoren
- Nul voor parallelle vectoren: Als A en B parallel zijn, is A × B = 0
- Grootte: |A × B| = |A| |B| sin(θ), waarbij θ de hoek tussen vectoren is
Toepassingen in de Praktijk
Natuurkunde
- Berekening van koppel (τ = r × F)
- Magnetische kracht vinden (F = q(v × B))
- Impulsmoment (L = r × p)
- Bepalen van rotatie-assen
Techniek en Computergraphics
- 3D-modellering en rendering
- Berekeningen van oppervlaktenormalen
- Botsingsdetectie
- Robotica en bewegingsplanning
- Spelontwikkeling
Wiskunde
- Loodrechte vectoren vinden
- Oppervlakten van parallellogrammen berekenen
- Vlaksvergelijkingen bepalen
- Vectorruimte-operaties
Hoe het Kruisproduct te Berekenen
Om A × B te berekenen waarbij A = (a₁, a₂, a₃) en B = (b₁, b₂, b₃):
- X-component: a₂b₃ - a₃b₂
- Y-component: a₃b₁ - a₁b₃
- Z-component: a₁b₂ - a₂b₁
Voorbeeld: A = (1, 2, 3) en B = (4, 5, 6)
- X = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3
- Y = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6
- Z = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3
Resultaat: A × B = (-3, 6, -3)
Veelgestelde vragen
- Wat is het verschil tussen inproduct en kruisproduct?
- Het inproduct produceert een scalair (enkel getal) en meet hoeveel twee vectoren in dezelfde richting wijzen. Het kruisproduct produceert een vector loodrecht op beide invoervectoren en meet het oppervlak van het parallellogram dat ze vormen.
- Waarom is het kruisproduct alleen gedefinieerd in 3D?
- Het kruisproduct is specifiek gedefinieerd voor 3D-vectoren omdat het gebaseerd is op de unieke eigenschappen van de driedimensionale ruimte. Hoewel er generalisaties naar andere dimensies bestaan, is de standaard kruisproductbewerking inherent driedimensionaal.
- Wat betekent het als het kruisproduct nul is?
- Als A × B = 0, betekent dit dat de vectoren parallel zijn (in dezelfde of tegengestelde richting wijzen). De grootte van het kruisproduct is |A| |B| sin(θ), wat nul is wanneer θ = 0° of 180°.
- Hoe bepaal ik de richting van het kruisproduct?
- Gebruik de rechterhandregel: wijs met je vingers in de richting van de eerste vector, krul ze naar de tweede vector, en je duim wijst in de richting van het kruisproduct. Het resultaat staat loodrecht op beide invoervectoren.