LU-Decompositie Calculator – Matrices Factoriseren in L en U
Ontbind matrices in onder- en bovendriehoeksfactoren
Hoe te Gebruiken
- Selecteer de matrixgrootte (2x2 of 3x3)
- Voer de matrixelementen in
- Klik op berekenen om de LU-decompositie te zien
- Bekijk de L- en U-matrices met verificatie
Wat is LU-Decompositie?
LU-decompositie (ook wel LU-factorisatie genoemd) is een methode om een matrix A te factoriseren in het product van een onderdriehoeksmatrix L en een bovendriehoeksmatrix U, zodanig dat A = LU. De onderdriehoeksmatrix heeft alle nullen boven de diagonaal, terwijl de bovendriehoeksmatrix alle nullen onder de diagonaal heeft.
Deze decompositie is fundamenteel in numerieke lineaire algebra en wordt uitgebreid gebruikt voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen, het berekenen van determinanten en het efficiënt vinden van matrix-inversen.
Toepassingen van LU-Decompositie
- Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen (Ax = b)
- Efficiënt berekenen van matrixdeterminanten
- Vinden van matrix-inversen
- Numerieke stabiliteit in computationele algoritmen
- Technische en natuurkundige simulaties
Doolittle-Methode
Deze calculator gebruikt het Doolittle-algoritme, dat de diagonaalelementen van L op 1 zet. Het algoritme berekent systematisch de elementen van U rij voor rij en L kolom voor kolom, waarbij wordt gegarandeerd dat A = LU.
Veelgestelde vragen
- Wat betekent het als LU-decompositie mislukt?
- LU-decompositie zonder pivotering mislukt wanneer een nul-pivot wordt aangetroffen, wat betekent dat de matrix singulier is of de decompositie rijwisselingen vereist. In dergelijke gevallen moet LU-decompositie met partiële pivotering (PA = LU) worden gebruikt.
- Waarom is LU-decompositie nuttig?
- Zodra een matrix is ontbonden in L en U, wordt het oplossen van vergelijkingsstelsels veel sneller. In plaats van Ax = b direct op te lossen, los je Ly = b op (voorwaartse substitutie) en vervolgens Ux = y (achterwaartse substitutie), wat computationeel efficiënt is.
- Wat is het verschil tussen L- en U-matrices?
- L (Onderdriehoeksmatrix) heeft niet-nul elementen alleen op en onder de hoofddiagonaal, met 1-en op de diagonaal bij de Doolittle-methode. U (Bovendriehoeksmatrix) heeft niet-nul elementen alleen op en boven de hoofddiagonaal.