Machtreeks Calculator – Taylor- en Maclaurin-reeksen
Bereken machtreeksontwikkelingen voor veelvoorkomende functies
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Selecteer het functietype (exponentieel, sinus, cosinus, ln of meetkundig)
- Voer het middelpunt in (0 voor Maclaurin-reeksen)
- Geef het aantal te berekenen termen op
- Voer de waarde in waarop de reeks moet worden geëvalueerd
- Klik op berekenen om de reeksontwikkeling en benadering te zien
Wat is een Machtreeks?
Een machtreeks is een oneindige reeks van de vorm Σ aₙ(x-a)ⁿ, waarbij aₙ de coëfficiënten zijn, x de variabele en a het middelpunt. Machtreeksen worden gebruikt om functies voor te stellen als oneindige sommen van polynomiale termen.
Wanneer het middelpunt a = 0, wordt de reeks een Maclaurin-reeks genoemd. Wanneer a ≠ 0, wordt het een Taylor-reeks met middelpunt a genoemd.
Veelvoorkomende Machtreeksen
| Functie | Machtreeks | Convergentie |
|---|---|---|
| e^x | Σ xⁿ/n! | Alle reële x |
| sin(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)! | Alle reële x |
| cos(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n)/(2n)! | Alle reële x |
| ln(1+x) | Σ (-1)^(n+1)xⁿ/n | -1 < x ≤ 1 |
| 1/(1-x) | Σ xⁿ | |x| < 1 |
Taylor-reeks Formule
De Taylor-reeks van een functie f(x) met middelpunt a is:
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! × (x-a)ⁿ voor n = 0 tot ∞
Waarbij f⁽ⁿ⁾(a) de n-de afgeleide van f geëvalueerd bij x = a is.
Convergentie en Straal
Elke machtreeks heeft een convergentiestraal R, die bepaalt waar de reeks convergeert:
- De reeks convergeert absoluut voor |x - a| < R
- De reeks divergeert voor |x - a| > R
- Bij |x - a| = R moet convergentie apart worden getest
- R kan worden gevonden met de verhoudingstest of worteltest
Toepassingen van Machtreeksen
- Benaderen van functiewaarden
- Oplossen van differentiaalvergelijkingen
- Evalueren van limieten en integralen
- Numerieke analyse en berekening
- Natuurkunde- en techniekberekeningen
- Signaalverwerking en Fourier-analyse
- Computergraphics en animatie
Veelgestelde vragen
- Wat is het verschil tussen Taylor- en Maclaurin-reeksen?
- Een Maclaurin-reeks is een speciaal geval van een Taylor-reeks waarbij het middelpunt 0 is. Taylor-reeksen kunnen op elk punt a worden gecentreerd, terwijl Maclaurin-reeksen altijd gecentreerd zijn bij x = 0.
- Hoeveel termen heb ik nodig voor een goede benadering?
- Het hangt af van de functie en hoe dicht x bij het middelpunt ligt. Over het algemeen geven meer termen een betere nauwkeurigheid. Voor de meeste praktische doeleinden bieden 5-10 termen goede benaderingen dicht bij het centrum.
- Waarom geeft de reeks soms verkeerde waarden?
- Machtreeksen convergeren alleen binnen hun convergentiestraal. Bijvoorbeeld, ln(1+x) convergeert alleen voor -1 < x ≤ 1, dus evalueren bij x = 2 zal onjuiste resultaten geven.
- Kan ik machtreeksen voor elke functie gebruiken?
- Niet alle functies hebben machtreeksvoorstellingen. Een functie moet oneindig vaak differentieerbaar zijn bij het middelpunt om een Taylor-reeks te hebben. Sommige functies, zoals |x|, hebben op bepaalde punten geen machtreeksen.