Multiplicatieve Inverse Modulo Calculator – Modulaire Rekenkunde
Vind de modulaire multiplicatieve inverse van een getal.
Hoe te Gebruiken
- Voer het getal (a) in waarvan u de inverse wilt vinden
- Voer de modulus (n) in
- Klik op berekenen om de multiplicatieve inverse te vinden
- De inverse bestaat alleen als ggd(a, n) = 1
Wat is een Multiplicatieve Inverse Modulo?
De multiplicatieve inverse van een getal 'a' modulo 'n' is een getal 'x' zodat (a × x) ≡ 1 (mod n). Met andere woorden, wanneer je 'a' vermenigvuldigt met zijn inverse 'x' en deelt door 'n', is de rest 1.
Bijvoorbeeld, de multiplicatieve inverse van 3 modulo 7 is 5, omdat 3 × 5 = 15 ≡ 1 (mod 7).
Wanneer Bestaat de Inverse?
De multiplicatieve inverse van 'a' modulo 'n' bestaat dan en slechts dan als 'a' en 'n' relatief priem zijn, wat betekent dat hun grootste gemene deler (ggd) 1 is.
- Als ggd(a, n) = 1, bestaat de inverse en is uniek modulo n
- Als ggd(a, n) > 1, bestaat er geen inverse
- Voor priemmodulus p heeft elk niet-nul getal een inverse
Uitgebreid Euclidisch Algoritme
Deze calculator gebruikt het Uitgebreide Euclidische Algoritme om de multiplicatieve inverse te vinden. Het algoritme vindt gehele getallen x en y zodat ax + ny = ggd(a, n). Wanneer ggd(a, n) = 1, is x de multiplicatieve inverse.
Toepassingen
Modulaire multiplicatieve inversen zijn essentieel in veel gebieden:
- RSA-versleuteling en -ontsleuteling
- Oplossen van lineaire congruenties
- Chinese Reststelling
- Cryptografische protocollen
- Foutcorrigerende codes
Veelgestelde vragen
- Waarom heeft mijn getal geen inverse?
- Een multiplicatieve inverse modulo n bestaat alleen wanneer het getal en n relatief priem zijn (hun ggd is 1). Als ze een gemeenschappelijke factor groter dan 1 delen, bestaat er geen inverse.
- Hoe wordt dit gebruikt in RSA-versleuteling?
- In RSA is de privésleutel d de multiplicatieve inverse van de publieke exponent e modulo φ(n). Deze relatie maakt het mogelijk om berichten te ontsleutelen die met de publieke sleutel zijn versleuteld.
- Wat als mijn getal negatief is?
- De calculator behandelt negatieve getallen door ze eerst om te zetten naar hun positieve equivalent modulo n. Bijvoorbeeld, -3 mod 7 = 4, dus het vinden van de inverse van -3 mod 7 is hetzelfde als het vinden van de inverse van 4 mod 7.
- Is de inverse altijd uniek?
- De inverse is uniek modulo n. Hoewel er oneindig veel getallen x zijn die voldoen aan (a × x) ≡ 1 (mod n), verschillen ze allemaal met veelvouden van n en zijn equivalent in modulaire rekenkunde.