Newton-Methode Calculator – Wortelzoekalgoritme
Vind wortels van functies met Newton-Raphson iteratie.
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Voer de functie f(x) in met x als variabele
- Voer de afgeleide f'(x) van de functie in
- Geef een beginschatting dicht bij de verwachte wortel
- Stel het maximum aantal iteraties en de tolerantie in
- Klik op berekenen om de iteratieve benadering te zien
Wat is de Newton-Methode?
De Newton-methode, ook bekend als de Newton-Raphson-methode, is een krachtige numerieke techniek voor het vinden van wortels van een functie. Het gebruikt het idee dat een continue en differentieerbare functie kan worden benaderd door een rechte lijn die er raakt.
De iteratieformule is: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ), waarbij f(x) de functie is en f'(x) de afgeleide.
Hoe Werkt Het?
Beginnend vanaf een beginschatting x₀, verbetert de methode herhaaldelijk de benadering:
- Evalueer de functie f(xₙ) op het huidige punt
- Evalueer de afgeleide f'(xₙ) op het huidige punt
- Bereken de volgende benadering: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
- Herhaal totdat de verandering kleiner is dan de tolerantie
Convergentievoorwaarden
De Newton-methode convergeert kwadratisch wanneer:
- De beginschatting voldoende dicht bij de wortel ligt
- De functie continu differentieerbaar is
- De afgeleide niet-nul is bij de wortel
- De functie een enkelvoudige wortel heeft (multipliciteit 1)
De methode kan falen of divergeren als de afgeleide nul is, de beginschatting slecht is, of de functie complex gedrag vertoont nabij de wortel.
Toepassingen
De Newton-methode wordt veel gebruikt in:
- Berekenen van vierkantswortels en n-de wortels
- Oplossen van niet-lineaire vergelijkingen
- Optimalisatieproblemen (vinden van kritieke punten)
- Computergraphics en fysicasimulaties
- Financiële berekeningen en engineering
Veelgestelde vragen
- Hoe voer ik de functie in?
- Gebruik 'x' als variabele. Ondersteunde bewerkingen zijn: +, -, *, /, ^ (macht), sqrt, sin, cos, tan, log, exp. Bijvoorbeeld 'x^3 - 2*x + 1' of 'sin(x) - x/2'.
- Wat als de methode niet convergeert?
- Probeer een andere beginschatting dichter bij de verwachte wortel, verhoog het aantal iteraties, of controleer of de afgeleide nul is nabij uw schatting. Sommige functies vereisen mogelijk speciale behandeling.
- Waarom moet ik de afgeleide invoeren?
- De Newton-methode vereist de afgeleide om de raaklijn op elk punt te berekenen. De formule xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ) gebruikt de afgeleide om de richting en stapgrootte te bepalen.
- Welke tolerantie moet ik gebruiken?
- Een tolerantie van 0.0001 (10⁻⁴) is geschikt voor de meeste toepassingen. Voor hogere precisie, gebruik kleinere waarden zoals 10⁻⁸. De tolerantie bepaalt wanneer de iteratie stopt op basis van de verandering tussen opeenvolgende benaderingen.