Nulruimte Calculator – Matrix Kern Vinder
Vind de nulruimte en kern van elke matrix.
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Stel het aantal rijen en kolommen voor uw matrix in
- Voer de matrixwaarden in elke cel in
- Klik op berekenen om de nulruimte te vinden
- Bekijk de basisvectoren, dimensie en RREF
Wat is de Nulruimte?
De nulruimte (of kern) van een matrix A is de verzameling van alle vectoren x zodat Ax = 0. Het is een deelruimte van het domein die wordt afgebeeld op de nulvector onder de lineaire transformatie voorgesteld door A.
De nulruimte wordt aangeduid als N(A) of ker(A), en de dimensie ervan wordt de nulliteit van de matrix genoemd.
Hoe de Nulruimte te Vinden
Om de nulruimte te vinden:
- Reduceer de matrix naar Gereduceerde Rij-Echelonvorm (RREF)
- Identificeer pivotkolommen (leidende enen) en vrije kolommen
- Druk pivotvariabelen uit in termen van vrije variabelen
- Schrijf de algemene oplossing als lineaire combinatie van basisvectoren
Rang-Nulliteit Stelling
De Rang-Nulliteit Stelling stelt dat voor een m×n matrix A: rang(A) + nulliteit(A) = n, waarbij n het aantal kolommen is.
- Rang = aantal pivotkolommen = dimensie van kolomruimte
- Nulliteit = aantal vrije variabelen = dimensie van nulruimte
- Als nulliteit = 0, is de enige oplossing van Ax = 0 gelijk aan x = 0
Toepassingen
De nulruimte heeft veel toepassingen:
- Oplossen van homogene stelsels lineaire vergelijkingen
- Vinden van de algemene oplossing van Ax = b
- Bepalen van lineaire onafhankelijkheid van vectoren
- Begrijpen van lineaire transformaties
- Computergraphics en datacompressie
Veelgestelde vragen
- Wat betekent een triviale nulruimte?
- Een triviale nulruimte bevat alleen de nulvector, wat betekent dat nulliteit = 0. Dit gebeurt wanneer de matrix volledige kolomrang heeft, en de enige oplossing van Ax = 0 is x = 0.
- Hoe zijn vrije variabelen gerelateerd aan de nulruimte?
- Vrije variabelen komen overeen met niet-pivotkolommen in de RREF. Elke vrije variabele draagt één dimensie bij aan de nulruimte, en het aantal vrije variabelen is gelijk aan de nulliteit.
- Wat is het verschil tussen nulruimte en kolomruimte?
- De nulruimte is de verzameling vectoren x waar Ax = 0 (in het domein). De kolomruimte is de verzameling van alle mogelijke outputs Ax (in het codomein). Ze zijn orthogonale complementen in bepaalde contexten.
- Kan een vierkante matrix een niet-triviale nulruimte hebben?
- Ja, als de vierkante matrix singulier is (determinant = 0). Een niet-triviale nulruimte betekent dat de matrix niet inverteerbaar is en lineair afhankelijke kolommen heeft.