Orthogonale Basis Calculator – Gram-Schmidt Proces
Bereken orthogonale en orthonormale bases uit vectoren
Hoe te Gebruiken
- Voer de x-, y- en z-componenten van de eerste vector in
- Voer de x-, y- en z-componenten van de tweede vector in
- Voer de x-, y- en z-componenten van de derde vector in
- Klik op berekenen om de orthogonale en orthonormale bases te zien
Wat is een Orthogonale Basis?
Een orthogonale basis is een set vectoren die onderling loodrecht (orthogonaal) op elkaar staan. Wanneer deze vectoren ook eenheidslengte (grootte van 1) hebben, vormen ze een orthonormale basis. Deze concepten zijn fundamenteel in lineaire algebra en hebben brede toepassingen in wiskunde, natuurkunde en techniek.
Het Gram-Schmidt proces is een algoritme dat een set lineair onafhankelijke vectoren neemt en een orthogonale (of orthonormale) set vectoren produceert die dezelfde deelruimte opspannen.
Het Gram-Schmidt Proces
Gegeven vectoren v₁, v₂, v₃, construeert het Gram-Schmidt proces orthogonale vectoren u₁, u₂, u₃ als volgt:
- u₁ = v₁ (eerste vector blijft ongewijzigd)
- u₂ = v₂ - proj(v₂, u₁) (projectie op u₁ aftrekken)
- u₃ = v₃ - proj(v₃, u₁) - proj(v₃, u₂) (projecties op u₁ en u₂ aftrekken)
Om een orthonormale basis te verkrijgen, wordt elke vector genormaliseerd door te delen door zijn grootte: eᵢ = uᵢ / ||uᵢ||
Toepassingen van Orthogonale Bases
- QR-decompositie: Gebruikt voor het oplossen van lineaire systemen en eigenwaardeproblemen
- Computergraphics: Coördinaattransformaties en camerasystemen
- Signaalverwerking: Fourier-analyse en wavelet-transformaties
- Machine Learning: Principale Componentenanalyse (PCA)
- Kwantummechanica: Toestandsvectoren en meetbases
- Numerieke Analyse: Kleinste-kwadraten benaderingen
Eigenschappen van Orthogonale Bases
- Loodrechtheid: Alle paren basisvectoren hebben inproduct nul
- Lineaire Onafhankelijkheid: Orthogonale vectoren zijn altijd lineair onafhankelijk
- Eenvoudige Projecties: Projecteren op orthogonale bases is rekenkundig eenvoudig
- Coördinaatberekening: Coördinaten vinden is eenvoudig met inproducten
- Stabiliteit: Orthonormale bases bieden numerieke stabiliteit in berekeningen
Veelgestelde vragen
- Wat is het verschil tussen orthogonale en orthonormale bases?
- Een orthogonale basis bestaat uit onderling loodrechte vectoren van willekeurige lengte. Een orthonormale basis is een orthogonale basis waarbij elke vector is genormaliseerd tot eenheidslengte (grootte van 1). Beide zijn nuttig, maar orthonormale bases vereenvoudigen veel berekeningen.
- Waarom is het Gram-Schmidt proces belangrijk?
- Het Gram-Schmidt proces is fundamenteel omdat het een systematische manier biedt om orthogonale bases te construeren uit elke set lineair onafhankelijke vectoren. Dit is essentieel voor QR-decompositie, het oplossen van kleinste-kwadratenproblemen en vele andere toepassingen in numerieke lineaire algebra.
- Wat gebeurt er als de invoervectoren lineair afhankelijk zijn?
- Als de invoervectoren lineair afhankelijk zijn, zal het Gram-Schmidt proces op een bepaald punt een nulvector produceren. Dit geeft aan dat de vectoren geen volledige 3D-ruimte opspannen en geen complete basis voor R³ kunnen vormen.
- Kan dit proces worden uitgebreid naar meer dan 3 dimensies?
- Ja, het Gram-Schmidt proces werkt in elk aantal dimensies. Het algoritme blijft hetzelfde: van elke nieuwe vector worden de projecties op alle voorgaande orthogonale vectoren afgetrokken.