Orthogonale Projectie Calculator – Vectorprojectie
Bereken de projectie van een vector op een andere
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Voer de x-, y- en z-componenten van vector u in (de te projecteren vector)
- Voer de x-, y- en z-componenten van vector v in (de vector waarop geprojecteerd wordt)
- Klik op berekenen om het projectieresultaat te zien
- Bekijk de projectievector, grootte en scalaire projectie
Wat is Orthogonale Projectie?
De orthogonale projectie van vector u op vector v is de component van u die in de richting van v ligt. Geometrisch is het de schaduw die u op v zou werpen als licht loodrecht op v zou schijnen.
De projectieformule is: proj_v(u) = (u · v / |v|²) × v, waarbij u · v het inproduct is en |v| de grootte van v.
Vector- vs Scalaire Projectie
- Vectorprojectie: De werkelijke vectorcomponent van u in de richting van v. Het heeft zowel grootte als richting.
- Scalaire Projectie: De getekende lengte van de projectie. Positief als u en v in vergelijkbare richtingen wijzen, negatief als tegengesteld.
De scalaire projectie wordt berekend als: comp_v(u) = u · v / |v|
Toepassingen van Vectorprojectie
- Natuurkunde: Ontbinden van krachten in componenten, arbeidsberekeningen
- Computergraphics: Schaduwberekeningen, verlichtingsmodellen
- Machine Learning: Feature-extractie, dimensionaliteitsreductie
- Techniek: Structurele analyse, signaalverwerking
- Navigatie: Afstand vinden langs een pad of richting
Eigenschappen van Orthogonale Projectie
- Idempotent: Een projectie projecteren geeft hetzelfde resultaat
- Lineair: proj(au + bw) = a·proj(u) + b·proj(w)
- Orthogonaal Complement: u - proj_v(u) staat loodrecht op v
- Groottebeperking: |proj_v(u)| ≤ |u|
Veelgestelde vragen
- Wat is het verschil tussen vector- en scalaire projectie?
- Vectorprojectie geeft je een vector in de richting van v met de juiste lengte. Scalaire projectie geeft je alleen de getekende lengte (een getal) van die projectie. De vectorprojectie is gelijk aan de scalaire projectie maal de eenheidsvector in de richting van v.
- Wat gebeurt er als ik op een nulvector projecteer?
- Projecteren op een nulvector is wiskundig ongedefinieerd omdat deling door nul optreedt. Onze calculator geeft in dit geval een nulvector terug om het randgeval elegant af te handelen.
- Hoe is projectie gerelateerd aan het inproduct?
- Het inproduct u · v is gelijk aan |u| |v| cos(θ), waarbij θ de hoek tussen vectoren is. De scalaire projectie is u · v / |v| = |u| cos(θ), wat de component van u in de richting van v is.
- Kan de projectie negatief zijn?
- De scalaire projectie kan negatief zijn wanneer de hoek tussen vectoren groter is dan 90°. De vectorprojectie wijst in dit geval in de tegenovergestelde richting van v.