Parallellepipedum Volume Calculator – Gemengd Product
Bereken parallellepipedum volume uit drie randvectoren
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Voer de x-, y- en z-componenten van vector a in (eerste rand)
- Voer de x-, y- en z-componenten van vector b in (tweede rand)
- Voer de x-, y- en z-componenten van vector c in (derde rand)
- Klik op berekenen om het volumeresultaat te zien
Wat is een Parallellepipedum?
Een parallellepipedum is een driedimensionale figuur gevormd door zes parallellogrammen. Het is het 3D-analogon van een parallellogram. Wanneer gedefinieerd door drie vectoren a, b en c die uitgaan van een gemeenschappelijk hoekpunt, is het volume gelijk aan de absolute waarde van het gemengd product.
De volumeformule is: V = |a · (b × c)|, waarbij b × c het kruisproduct is en a · (b × c) het inproduct van a met dat resultaat.
Het Gemengd Product
Het gemengd product a · (b × c) kan ook worden berekend als de determinant van een 3×3 matrix met vectoren a, b, c als rijen (of kolommen).
- Geometrische betekenis: Het getekende volume van het parallellepipedum
- Teken: Positief als a, b, c een rechtshandig systeem vormen; negatief als linkshandig
- Nulresultaat: Geeft aan dat de drie vectoren coplanair zijn (in hetzelfde vlak liggen)
Toepassingen
- Kristallografie: Berekenen van eenheidscelvolumes in kristalstructuren
- Natuurkunde: Berekenen van flux en veldgrootheden
- Techniek: Volumeberekeningen in structurele analyse
- Computergraphics: 3D-botsingsdetectie en ruimtelijke berekeningen
- Lineaire Algebra: Testen van lineaire onafhankelijkheid van vectoren
Speciale Gevallen
- Rechthoekige doos: Wanneer vectoren onderling loodrecht zijn, volume = |a| × |b| × |c|
- Kubus: Wanneer alle drie vectoren gelijke lengte hebben en loodrecht zijn
- Gedegenereerd geval: Volume = 0 wanneer vectoren coplanair zijn
Veelgestelde vragen
- Wat is het verschil tussen een parallellepipedum en een rechthoekige doos?
- Een rechthoekige doos (balk) is een speciaal geval van een parallellepipedum waarbij alle hoeken 90 graden zijn. Een algemeen parallellepipedum kan vlakken hebben die niet-rechthoekige parallellogrammen zijn met schuine hoeken.
- Waarom kan het gemengd product negatief zijn?
- Het teken geeft de oriëntatie van de drie vectoren aan. Een positieve waarde betekent dat ze een rechtshandig coördinatensysteem vormen, terwijl negatief linkshandig betekent. Voor volume nemen we de absolute waarde omdat volume altijd positief is.
- Wat betekent het als het volume nul is?
- Een nulvolume geeft aan dat de drie vectoren coplanair zijn—ze liggen allemaal in hetzelfde vlak. Dit betekent dat ze geen 3D-ruimte opspannen en geen echt parallellepipedum kunnen vormen.
- Hoe is dit gerelateerd aan de determinant?
- Het gemengd product is gelijk aan de determinant van de 3×3 matrix gevormd door de drie vectoren. Deze verbinding is fundamenteel in lineaire algebra en verklaart waarom de determinant de 'volumeschaling' van lineaire transformaties meet.