Partiële Afgeleide Calculator – Meerdimensionale Calculus
Bereken partiële afgeleiden van functies met meerdere variabelen
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Voer je functie in met x, y, z als variabelen (bijv., x^2+y^2)
- Specificeer naar welke variabele gedifferentieerd moet worden
- Voer optioneel puntcoördinaten in om de afgeleide te evalueren
- Klik op berekenen om de partiële afgeleide en stappen te zien
Wat is een Partiële Afgeleide?
Een partiële afgeleide meet hoe een functie verandert wanneer één variabele verandert terwijl alle andere variabelen constant worden gehouden. Voor een functie f(x, y) behandelt de partiële afgeleide naar x, geschreven ∂f/∂x, y als een constante.
Partiële afgeleiden zijn fundamenteel in meerdimensionale calculus en worden gebruikt om functies van meerdere variabelen te analyseren, veranderingssnelheden te vinden en functies te optimaliseren.
Notatie en Symbolen
- ∂f/∂x: Partiële afgeleide van f naar x
- fₓ: Subscriptnotatie voor partiële afgeleide
- ∂²f/∂x∂y: Gemengde partiële afgeleide
- ∇f: Gradiënt (vector van alle partiële afgeleiden)
Differentiatieregels
- Machtsregel: ∂/∂x(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- Constanteregel: ∂/∂x(c) = 0 voor elke constante c
- Somregel: ∂/∂x(f + g) = ∂f/∂x + ∂g/∂x
- Productregel: ∂/∂x(f·g) = f·∂g/∂x + g·∂f/∂x
- Kettingregel: ∂/∂x(f(g)) = f'(g)·∂g/∂x
Toepassingen
- Optimalisatie: Vinden van maxima en minima van functies met meerdere variabelen
- Machine Learning: Gradiëntafdaling voor het trainen van neurale netwerken
- Natuurkunde: Warmtevergelijkingen, golfvergelijkingen, vloeistofdynamica
- Economie: Marginale analyse, nutsfuncties
- Techniek: Spanningsanalyse, regelsystemen
Veelgestelde vragen
- Wat is het verschil tussen partiële en gewone afgeleiden?
- Een gewone afgeleide is van toepassing op functies van één variabele. Een partiële afgeleide is van toepassing op functies van meerdere variabelen en meet de verandering ten opzichte van één variabele terwijl de andere als constanten worden behandeld.
- Wat is de gradiënt?
- De gradiënt ∇f is een vector die alle partiële afgeleiden van een functie bevat. Voor f(x,y) is de gradiënt (∂f/∂x, ∂f/∂y). Hij wijst in de richting van de steilste toename.
- Wat zijn gemengde partiële afgeleiden?
- Gemengde partiële afgeleiden omvatten het differentiëren naar verschillende variabelen achtereenvolgens, zoals ∂²f/∂x∂y. Volgens de stelling van Schwarz maakt de volgorde meestal niet uit: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x voor de meeste functies.
- Hoe worden partiële afgeleiden gebruikt in machine learning?
- Partiële afgeleiden zijn essentieel voor gradiëntafdaling, het algoritme dat wordt gebruikt om neurale netwerken te trainen. De gradiënt vertelt ons hoe we elke parameter moeten aanpassen om de verliesfunctie te minimaliseren.