Polair naar Rechthoekig Calculator – Coördinaten Converteren
Converteer polaire coördinaten naar rechthoekige (Cartesische) vorm
Hoe te Gebruiken
- Voer de straal (r) waarde in
- Voer de hoek (θ) waarde in
- Selecteer of de hoek in graden of radialen is
- Bekijk de x- en y-coördinaten en de complexe getallenvorm
Converteer polaire coördinaten naar rechthoekige (Cartesische) vorm
Converteer polaire coördinaten (r, θ) naar rechthoekige/Cartesische coördinaten (x, y). Methode: x = r cos θ; y = r sin θ; θ = atan2(y,x). Zet graden om in radialen vóór sinus en cosinus.
Een punt is (r, θ): r is een radiale coördinaat met teken en θ wordt linksom gemeten vanaf de positieve x-as; de afstand tot de oorsprong is |r|.
Conversieformules
Om van polair (r, θ) naar rechthoekige coördinaten (x, y) te converteren:
- x = r × cos(θ)
- y = r × sin(θ)
Om van rechthoekig (x, y) naar polaire coördinaten (r, θ) te converteren:
- r = √(x² + y²)
- θ = atan2(y,x) (met kwadrantaanpassing)
Verbinding met Complexe Getallen
Polaire coördinaten zijn nauw verbonden met complexe getallen. Een complex getal z = x + yi kan in polaire vorm worden geschreven als z = r(cos θ + i sin θ) of met de formule van Euler als z = re^(iθ).
Deze verbinding maakt de polaire vorm bijzonder nuttig voor vermenigvuldiging en deling van complexe getallen, evenals voor het vinden van wortels.
Veelvoorkomende Hoekconversies
| Graden | Radialen | cos(θ) | sin(θ) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 |
| 180° | π | -1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | 0 | -1 |
Uitgewerkt voorbeeld
- Punt uit straal en hoek: r=2, θ=90° → (x,y)=(0,2).
Methode, voorbeeld, afronding en grenzen
Methode: x = r cos θ; y = r sin θ; θ = atan2(y,x). Zet graden om in radialen vóór sinus en cosinus.
Uitgewerkt voorbeeld: r=2, θ=90° → (x,y)=(0,2).
Afronding: x, y en de hoek in radialen gebruiken maximaal 6 decimalen; de hoek in graden gebruikt 2 decimalen.
Beperking: Trigonometrische waarden dicht bij nul kunnen na afronding als nul verschijnen.
Bron: OpenStax. https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-3-polar-coordinates
Veelgestelde vragen
- Wanneer moet ik polaire coördinaten gebruiken in plaats van rechthoekige?
- Polaire coördinaten zijn ideaal bij cirkelvormige of roterende problemen, zoals het beschrijven van banen, spiralen, of elke situatie waar afstand vanaf een centraal punt en hoek natuurlijkere maten zijn dan x- en y-posities.
- Kan de straal negatief zijn?
- Ja, een negatieve straal betekent dat het punt in de tegenovergestelde richting ligt. Het punt (-r, θ) is hetzelfde als (r, θ + 180°). Deze conventie wordt soms in de wiskunde gebruikt maar kan verwarrend zijn, dus positieve stralen zijn gebruikelijker.
- Hoe converteer ik graden naar radialen?
- Vermenigvuldig graden met π/180. Bijvoorbeeld, 90° = 90 × π/180 = π/2 radialen. Omgekeerd, vermenigvuldig radialen met 180/π om graden te krijgen.
- Wat is de relatie tussen polaire vorm en complexe getallen?
- Een complex getal x + yi komt overeen met het punt (x, y) in rechthoekige coördinaten, wat gelijk is aan (r, θ) in polaire vorm waar r = √(x² + y²) en θ = atan2(y,x). Dit wordt geschreven als r∠θ of r·e^(iθ).