Priemfactorisatie Calculator – Vind Priemfactoren
Vind priemfactoren en delers van elk getal
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Voer een positief geheel getal in (2 of groter)
- Klik op berekenen om de priemfactorisatie te vinden
- Bekijk de priemfactoren en hun exponenten
- Zie de exponentiële vorm en alle delers
- Controleer of het getal een priemgetal is
Wat is Priemfactorisatie?
Priemfactorisatie is het proces van het vinden welke priemgetallen met elkaar vermenigvuldigd het oorspronkelijke getal vormen. Elk positief geheel getal groter dan 1 kan uniek worden uitgedrukt als een product van priemgetallen (Hoofdstelling van de Rekenkunde).
Bijvoorbeeld, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
Wat zijn Priemgetallen?
Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat geen positieve delers heeft behalve 1 en zichzelf. De eerste priemgetallen zijn:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
Merk op dat 2 het enige even priemgetal is. Alle andere even getallen zijn deelbaar door 2.
Hoe Priemfactoren te Vinden
- Begin met het kleinste priemgetal (2)
- Deel het getal zo vaak mogelijk door 2
- Ga naar het volgende priemgetal (3, 5, 7, ...)
- Ga door totdat het quotiënt 1 is
- De priemfactoren zijn alle priemgetallen die bij de deling zijn gebruikt
Delerformules
Voor een getal n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ:
- Aantal delers: (a₁+1) × (a₂+1) × ... × (aₖ+1)
- Som van delers: [(p₁^(a₁+1) - 1)/(p₁-1)] × ... × [(pₖ^(aₖ+1) - 1)/(pₖ-1)]
- Product van delers: n^(d(n)/2) waarbij d(n) het aantal delers is
Toepassingen van Priemfactorisatie
- Vinden van ggd (grootste gemene deler) en kgv (kleinste gemene veelvoud)
- Vereenvoudigen van breuken
- Cryptografie en beveiliging (RSA-encryptie)
- Getaltheorie en wiskundige bewijzen
- Informatica-algoritmen
- Oplossen van Diophantische vergelijkingen
- Muziektheorie en harmonie
Veelgestelde vragen
- Is 1 een priemgetal?
- Nee, 1 wordt niet als een priemgetal beschouwd. Per definitie moet een priemgetal precies twee verschillende positieve delers hebben: 1 en zichzelf. Het getal 1 heeft slechts één deler (zichzelf), dus het kwalificeert niet als priemgetal.
- Waarom is priemfactorisatie uniek?
- De Hoofdstelling van de Rekenkunde stelt dat elk geheel getal groter dan 1 uniek kan worden voorgesteld als een product van priemgetallen, op de volgorde van de factoren na. Deze uniciteit is fundamenteel voor de getaltheorie.
- Hoe vind ik de ggd met priemfactorisatie?
- Om de ggd van twee getallen te vinden, vind hun priemfactorisaties, vermenigvuldig dan de gemeenschappelijke priemfactoren met de laagste exponent voor elk. Bijvoorbeeld, ggd(12, 18) = ggd(2²×3, 2×3²) = 2¹×3¹ = 6.
- Wat is het grootste bekende priemgetal?
- De grootste bekende priemgetallen zijn Mersenne-priemgetallen van de vorm 2^p - 1. Volgens recente records heeft het grootste bekende priemgetal meer dan 24 miljoen cijfers. Het vinden van grote priemgetallen is een actief gebied van wiskundig onderzoek.