QR-Decompositie Calculator – Matrixfactorisatie
Ontbind een matrix in Q (orthogonaal) en R (bovendriehoeks) matrices
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Stel de matrixdimensies in (rijen en kolommen)
- Voer de waarden in voor elk element van de matrix
- Klik op berekenen om de QR-decompositie uit te voeren
- Bekijk de resulterende Q- en R-matrices
Wat is QR-Decompositie?
QR-decompositie (ook wel QR-factorisatie genoemd) is een manier om een matrix A uit te drukken als product van twee matrices: Q en R. Matrix Q is een orthogonale matrix (de kolommen zijn orthonormale vectoren), en R is een bovendriehoeksmatrix.
De decompositie wordt geschreven als A = QR, waarbij Q orthonormale kolommen heeft (Q^T Q = I) en R nullen heeft onder de hoofddiagonaal.
Het Gram-Schmidt-Proces
Deze calculator gebruikt het Gram-Schmidt-orthogonalisatieproces om de QR-decompositie te berekenen. Het proces werkt door:
- Elke kolom van A achtereenvolgens te nemen
- Projecties op eerder berekende orthonormale vectoren af te trekken
- Het resultaat te normaliseren tot een eenheidsvector
- De projectiecoëfficiënten in matrix R vast te leggen
Eigenschappen van Q en R
Matrix Q (Orthogonaal):
- Kolommen zijn orthonormaal (loodrechte eenheidsvectoren)
- Q^T Q = I (eenheidsmatrix)
- Behoudt vectorlengtes en hoeken
Matrix R (Bovendriehoeks):
- Alle elementen onder de hoofddiagonaal zijn nul
- Diagonaalelementen zijn de normen van de georthogonaliseerde vectoren
- Niet-diagonaalelementen zijn projectiecoëfficiënten
Toepassingen van QR-Decompositie
- Oplossen van lineaire kleinste-kwadratenproblemen
- Berekenen van eigenwaarden (QR-algoritme)
- Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen
- Signaalverwerking en datacompressie
- Machine learning algoritmen
Veelgestelde vragen
- Wat is het verschil tussen QR- en LU-decompositie?
- QR-decompositie produceert een orthogonale matrix Q en bovendriehoeksmatrix R, terwijl LU-decompositie een onderdriehoeksmatrix L en bovendriehoeksmatrix U produceert. QR is numeriek stabieler en heeft de voorkeur voor kleinste-kwadratenproblemen.
- Kan elke matrix QR-gedecomponeerd worden?
- Elke reële matrix met lineair onafhankelijke kolommen kan QR-gedecomponeerd worden. Voor matrices met lineair afhankelijke kolommen kan een gemodificeerde versie genaamd QR met kolompivoting worden gebruikt.
- Wat betekent het dat Q orthogonaal is?
- Een orthogonale matrix Q heeft de eigenschap dat Q^T Q = I (eenheidsmatrix). Dit betekent dat de kolommen onderling loodrechte eenheidsvectoren zijn, en vermenigvuldigen met Q behoudt lengtes en hoeken.
- Hoe wordt QR-decompositie gebruikt bij kleinste kwadraten?
- Voor het kleinste-kwadratenprobleem Ax ≈ b transformeert QR-decompositie het naar Rx = Q^T b, dat gemakkelijk op te lossen is door terugsubstitutie aangezien R een bovendriehoeksmatrix is.