Verhoudingstest Calculator – Reeksconvergentie
Test reeksconvergentie met de verhoudingstest (criterium van D'Alembert)
Inhoudsopgave
Hoe te Gebruiken
- Selecteer het type reeks dat je wilt analyseren
- Voer de vereiste parameters voor je reeks in
- Klik op berekenen om de verhoudingstest toe te passen
- Bekijk het convergentieresultaat en de uitleg
Wat is de Verhoudingstest?
De verhoudingstest (ook bekend als het criterium van D'Alembert) is een methode om te bepalen of een oneindige reeks convergeert of divergeert. Het onderzoekt de limiet van de verhouding van opeenvolgende termen.
Voor een reeks Σaₙ, bereken L = lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ|. Dan: als L < 1, convergeert de reeks absoluut; als L > 1, divergeert de reeks; als L = 1, is de test niet conclusief.
Wanneer de Verhoudingstest Gebruiken
De verhoudingstest is bijzonder effectief voor reeksen met:
- Faculteiten (n!)
- Exponentiëlen (aⁿ)
- Producten van faculteiten en exponentiëlen
- Machtreeksen (om de convergentiestraal te vinden)
Beperkingen
De verhoudingstest is niet conclusief (L = 1) voor veel belangrijke reeksen:
- P-reeksen (Σ1/n^p) - gebruik in plaats daarvan de p-reekstest
- Harmonische reeks (Σ1/n) - divergeert
- Alternerende harmonische reeks - gebruik de alternerende reekstest
Veelvoorkomende Voorbeelden
Meetkundige reeks Σrⁿ: L = |r|, convergeert als |r| < 1
Faculteitreeks Σ1/n!: L = 0, convergeert
Exponentiële reeks Σxⁿ/n!: L = 0, convergeert voor alle x
Veelgestelde vragen
- Wat betekent het als de verhoudingstest niet conclusief is?
- Wanneer L = 1, kan de verhoudingstest de convergentie niet bepalen. Je moet een andere test gebruiken zoals de worteltest, vergelijkingstest, integraaltest of alternerende reekstest afhankelijk van de structuur van de reeks.
- Wat is het verschil tussen de verhoudingstest en de worteltest?
- Beide tests onderzoeken vergelijkbare limieten maar gebruiken verschillende benaderingen. De verhoudingstest kijkt naar |aₙ₊₁/aₙ|, terwijl de worteltest |aₙ|^(1/n) onderzoekt. Ze geven vaak hetzelfde resultaat, maar soms is de ene gemakkelijker te berekenen dan de andere.
- Kan de verhoudingstest voorwaardelijke convergentie bepalen?
- Nee, de verhoudingstest bepaalt alleen absolute convergentie. Als L < 1, convergeert de reeks absoluut. Voor voorwaardelijke convergentie (convergeert maar niet absoluut), heb je andere tests nodig zoals de alternerende reekstest.
- Waarom werkt de verhoudingstest?
- De verhoudingstest vergelijkt je reeks met een meetkundige reeks. Als de verhouding van opeenvolgende termen een waarde kleiner dan 1 nadert, gedraagt de reeks zich als een convergente meetkundige reeks. Als groter dan 1, gedraagt het zich als een divergente meetkundige reeks.