Ableitungsrechner – Funktionsableitungen Finden
Berechnen Sie Ableitungen mathematischer Funktionen symbolisch
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie Ihre mathematische Funktion ein (z.B. x^2, sin(x), e^x)
- Geben Sie die Variable an, nach der abgeleitet werden soll (normalerweise x)
- Klicken Sie auf Berechnen, um die Ableitung zu sehen
- Überprüfen Sie das Ergebnis mit der ursprünglichen Funktion und ihrer Ableitung
Was ist eine Ableitung?
Eine Ableitung stellt die Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf eine Variable dar. Sie misst, wie sich die Ausgabe einer Funktion ändert, wenn sich ihre Eingabe ändert, und liefert die Steigung der Tangente an jedem Punkt des Funktionsgraphen.
Ableitungen sind grundlegend in der Analysis und haben Anwendungen in der Physik (Geschwindigkeit, Beschleunigung), Wirtschaft (Grenzkosten, Grenzerlös) und vielen anderen Bereichen.
Grundlegende Differenzierungsregeln
- Potenzregel: d/dx(x^n) = n·x^(n-1)
- Konstantenregel: d/dx(c) = 0
- Summenregel: d/dx(f + g) = f' + g'
- Produktregel: d/dx(f·g) = f'·g + f·g'
- Kettenregel: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)
Ableitungen Häufiger Funktionen
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| x^n | n·x^(n-1) |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | sec²(x) |
| e^x | e^x |
| ln(x) | 1/x |
Anwendungen von Ableitungen
- Finden von Maximal- und Minimalwerten von Funktionen
- Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung in der Physik
- Optimierung von Geschäftsprozessen und Kosten
- Bestimmung von Änderungsraten in natürlichen Phänomenen
- Analyse des Funktionsverhaltens und Zeichnen von Kurven
Häufig gestellte Fragen
- Was ist die Potenzregel für Ableitungen?
- Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von x^n gleich n·x^(n-1) ist. Zum Beispiel ist die Ableitung von x^3 gleich 3x^2, und die Ableitung von x^2 ist 2x.
- Was ist die Ableitung einer Konstante?
- Die Ableitung jeder Konstante ist immer null. Da sich Konstanten nicht ändern, ist ihre Änderungsrate null.
- Wie finde ich die Ableitung trigonometrischer Funktionen?
- Häufige trigonometrische Ableitungen umfassen: d/dx(sin(x)) = cos(x), d/dx(cos(x)) = -sin(x), und d/dx(tan(x)) = sec²(x).
- Was ist die Kettenregel?
- Die Kettenregel wird verwendet, um zusammengesetzte Funktionen abzuleiten. Sie besagt, dass d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x). Sie leiten die äußere Funktion ab und multiplizieren mit der Ableitung der inneren Funktion.