Cramersche Regel Rechner – Lineare Systeme Lösen
Lösen Sie lineare Systeme mit der cramerschen Regel mit Determinanten
Wie zu Verwenden
- Wählen Sie die Systemgröße (2x2 oder 3x3)
- Geben Sie Koeffizientenmatrixzeilen in separaten Zeilen ein
- Geben Sie konstante Vektorwerte durch Leerzeichen getrennt ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um die Lösung mit der cramerschen Regel zu finden
Was ist die Cramersche Regel?
Die cramersche Regel ist ein mathematischer Satz zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Anzahl von Gleichungen wie Unbekannten. Sie drückt die Lösung in Form von Determinanten von Matrizen aus.
Für ein System Ax = b, wobei A die Koeffizientenmatrix und b der Konstantenvektor ist, wird jede Variable xᵢ berechnet als: xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), wobei Aᵢ die Matrix A ist, bei der die i-te Spalte durch b ersetzt wurde.
Wann die Cramersche Regel verwendet wird
- Kleine Systeme (2x2 oder 3x3), bei denen manuelle Berechnung machbar ist
- Wenn Sie die Lösung in Form von Determinanten benötigen
- Theoretische Analyse und Beweise
- Systeme, bei denen die Determinante bereits bekannt oder einfach zu berechnen ist
Für größere Systeme oder numerische Berechnungen sind Methoden wie Gauß-Elimination oder LU-Zerlegung effizienter.
Einschränkungen
- Funktioniert nur, wenn die Koeffizientenmatrix quadratisch ist (gleiche Anzahl von Gleichungen und Unbekannten)
- Erfordert det(A) ≠ 0 (Matrix muss nicht-singulär sein)
- Rechnerisch ineffizient für große Systeme (erfordert n+1 Determinantenberechnungen)
- Anfällig für numerische Instabilität bei schlecht konditionierten Matrizen
Beispiel: 2x2 System
Lösen: 2x + y = 8 und x + 3y = 13
det(A) = |2 1; 1 3| = 6 - 1 = 5
x = |8 1; 13 3| / 5 = (24 - 13) / 5 = 11/5 = 2.2
y = |2 8; 1 13| / 5 = (26 - 8) / 5 = 18/5 = 3.6
Häufig gestellte Fragen
- Was passiert, wenn die Determinante Null ist?
- Wenn det(A) = 0 ist, ist die Matrix singulär und das System hat entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Die cramersche Regel kann in diesem Fall nicht verwendet werden.
- Ist die cramersche Regel für große Systeme effizient?
- Nein. Die cramersche Regel erfordert die Berechnung von n+1 Determinanten für ein n×n System, was rechnerisch teuer wird. Methoden wie Gauß-Elimination sind für Systeme größer als 3×3 viel effizienter.
- Kann die cramersche Regel Systeme mit mehr Gleichungen als Unbekannten lösen?
- Nein. Die cramersche Regel gilt nur für quadratische Systeme (gleiche Anzahl von Gleichungen wie Unbekannten). Für überbestimmte oder unterbestimmte Systeme verwenden Sie kleinste Quadrate oder andere Methoden.