Differentialgleichungssystem-Rechner
Analysieren Sie lineare Differentialgleichungssysteme mit Eigenwertanalyse
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie den Koeffizienten a₁₁ für den x-Term der ersten Gleichung ein
- Geben Sie den Koeffizienten a₁₂ für den y-Term der ersten Gleichung ein
- Geben Sie den Koeffizienten a₂₁ für den x-Term der zweiten Gleichung ein
- Geben Sie den Koeffizienten a₂₂ für den y-Term der zweiten Gleichung ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um Eigenwerte, Eigenvektoren und Stabilitätsanalyse zu sehen
Was sind Differentialgleichungssysteme?
Ein System linearer Differentialgleichungen beschreibt, wie sich mehrere Variablen im Laufe der Zeit in Beziehung zueinander ändern. Das 2×2-System hat die Form: dx/dt = a₁₁x + a₁₂y und dy/dt = a₂₁x + a₂₂y.
Diese Systeme erscheinen in der Physik (gekoppelte Oszillatoren), Biologie (Räuber-Beute-Modelle), Wirtschaft (Angebots-Nachfrage-Dynamik) und Ingenieurwesen (Regelungssysteme).
Eigenwertanalyse
Eigenwerte bestimmen das Verhalten von Lösungen. Sie werden durch Lösen von det(A - λI) = 0 gefunden, was λ² - (Spur)λ + (Determinante) = 0 ergibt.
| Eigenwerte | Klassifizierung | Verhalten |
|---|---|---|
| Reell, beide negativ | Stabiler Knoten | Lösungen nähern sich dem Ursprung |
| Reell, beide positiv | Instabiler Knoten | Lösungen entfernen sich vom Ursprung |
| Reell, entgegengesetzte Vorzeichen | Sattelpunkt | Instabil mit stabilen/instabilen Richtungen |
| Komplex mit negativem Realteil | Stabile Spirale | Spirale nach innen zum Ursprung |
| Komplex mit positivem Realteil | Instabile Spirale | Spirale nach außen vom Ursprung |
| Rein imaginär | Zentrum | Geschlossene Bahnen um den Ursprung |
Stabilitätskriterien
Die Stabilität des Gleichgewichts am Ursprung hängt von der Spur und der Determinante ab:
- Wenn det < 0: Sattelpunkt (instabil)
- Wenn det > 0 und tr < 0: stabil (Knoten oder Spirale)
- Wenn det > 0 und tr > 0: instabil (Knoten oder Spirale)
- Wenn det > 0 und tr = 0: Zentrum (neutral stabil)
- Die Diskriminante tr² - 4det bestimmt, ob Eigenwerte reell oder komplex sind
Anwendungen in der Praxis
- Populationsdynamik: Räuber-Beute-Interaktionen (Lotka-Volterra-Gleichungen)
- Mechanische Systeme: gekoppelte Federn und Pendel
- Elektrische Schaltkreise: RLC-Schaltkreise mit mehreren Schleifen
- Chemische Reaktionen: Reaktionskinetik mit mehreren Spezies
- Wirtschaft: Marktgleichgewicht und Preisdynamik
- Regelungstheorie: Rückkopplungssysteme und Stabilitätsanalyse
Häufig gestellte Fragen
- Was sagen uns Eigenwerte über das System?
- Eigenwerte bestimmen, wie sich Lösungen im Laufe der Zeit entwickeln. Reelle Eigenwerte zeigen exponentielles Wachstum oder Zerfall an, während komplexe Eigenwerte oszillierendes Verhalten anzeigen. Das Vorzeichen des Realteils bestimmt die Stabilität.
- Wofür werden Eigenvektoren verwendet?
- Eigenvektoren zeigen die Richtungen, entlang derer sich Lösungen bewegen. Sie bilden die Basis für die allgemeine Lösung und helfen, das Phasenporträt des Systems zu visualisieren.
- Was bedeutet 'stabil' in diesem Kontext?
- Ein stabiles System bedeutet, dass Lösungen, die in der Nähe des Gleichgewichtspunkts (Ursprung) beginnen, sich ihm nähern, wenn die Zeit zunimmt. Ein instabiles System bedeutet, dass sich Lösungen vom Gleichgewicht entfernen.
- Kann dieser Rechner nichtlineare Systeme behandeln?
- Nein, dieser Rechner ist nur für lineare Systeme konzipiert. Nichtlineare Systeme erfordern eine Linearisierung um Gleichgewichtspunkte, bevor diese Analyse angewendet werden kann.