Dilatationsrechner
Berechnen Sie geometrische Dilatationstransformationen mit Skalierungsfaktoren
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die X-Koordinate des Dilatationszentrums ein
- Geben Sie die Y-Koordinate des Dilatationszentrums ein
- Geben Sie die X-Koordinate des ursprünglichen Punktes ein
- Geben Sie die Y-Koordinate des ursprünglichen Punktes ein
- Geben Sie den Skalierungsfaktor ein (k > 1 vergrößert, 0 < k < 1 verkleinert, k < 0 spiegelt)
- Klicken Sie auf Berechnen, um den dilatierten Punkt und Transformationsdetails zu sehen
Was ist Dilatation?
Dilatation ist eine Transformation, die ein Bild erzeugt, das die gleiche Form wie das Original hat, aber eine andere Größe. Eine Dilatation streckt oder schrumpft die ursprüngliche Figur basierend auf einem Skalierungsfaktor.
Jede Dilatation hat einen Mittelpunkt und einen Skalierungsfaktor k. Das Zentrum ist ein fester Punkt in der Ebene, um den alle Punkte expandiert oder kontrahiert werden. Der Skalierungsfaktor beschreibt, wie stark die Figur vergrößert oder verkleinert wird.
Skalierungsfaktor Verstehen
| Skalierungsfaktor (k) | Effekt | Beispiel |
|---|---|---|
| k > 1 | Vergrößerung | k = 2 verdoppelt den Abstand vom Zentrum |
| k = 1 | Keine Änderung | Bild ist identisch mit Original |
| 0 < k < 1 | Verkleinerung | k = 0.5 halbiert den Abstand vom Zentrum |
| k < 0 | Spiegelung und Skalierung | k = -1 spiegelt durch das Zentrum |
| k = 0 | Ungültig | Alle Punkte kollabieren zum Zentrum (nicht erlaubt) |
Dilatationsformel
Die Formel für Dilatation lautet: P' = C + k(P - C)
Wobei:
- P' = (x', y') ist der dilatierte Punkt
- C = (cx, cy) ist das Dilatationszentrum
- k ist der Skalierungsfaktor
- P = (x, y) ist der ursprüngliche Punkt
Erweiterte Form: x' = cx + k(x - cx) und y' = cy + k(y - cy)
Eigenschaften der Dilatation
- Erhält die Form (ähnliche Figuren)
- Erhält Winkelmaße
- Erhält nicht die Entfernung (außer k = 1 oder k = -1)
- Parallele Linien bleiben parallel
- Das Dilatationszentrum ist der einzige Fixpunkt (außer k = 1)
- Abstand vom Zentrum wird mit |k| multipliziert
- Fläche wird mit k² multipliziert
- Volumen (in 3D) wird mit k³ multipliziert
Anwendungen in der Praxis
- Computergrafik und Bildskalierung
- Architektur und Maßstabsmodelle
- Kartenlesen und maßstabsgetreue Zeichnungen
- Fotografie und Zoomfunktionen
- Medizinische Bildgebung (CT-Scans, Röntgen)
- Ingenieurdesign und CAD-Software
- Animation und Spezialeffekte
Häufig gestellte Fragen
- Was passiert, wenn der Skalierungsfaktor negativ ist?
- Ein negativer Skalierungsfaktor verursacht sowohl eine Spiegelung durch das Dilatationszentrum als auch eine Größenänderung. Zum Beispiel spiegelt k = -2 den Punkt durch das Zentrum und verdoppelt seinen Abstand vom Zentrum.
- Kann das Dilatationszentrum am Ursprung liegen?
- Ja, wenn das Zentrum am Ursprung (0, 0) liegt, vereinfacht sich die Dilatationsformel zu P' = kP, was die Berechnungen einfacher macht. Dies ist ein häufiger Sonderfall.
- Ist Dilatation dasselbe wie Skalierung?
- Ja, Dilatation und Skalierung sind dieselbe Transformation. Beide Begriffe beschreiben das Vergrößern oder Verkleinern einer Figur um einen Skalierungsfaktor relativ zu einem festen Punkt.
- Was ist der Unterschied zwischen Dilatation und Translation?
- Dilatation ändert die Größe einer Figur (und spiegelt sie möglicherweise), während Translation eine Figur bewegt, ohne ihre Größe oder Ausrichtung zu ändern. Dilatation hat einen Mittelpunkt; Translation hat eine Richtung und Entfernung.