Diskriminante-Rechner
Berechnen Sie Diskriminante und Wurzeln quadratischer Gleichungen
Wie zu Verwenden
- Geben Sie den Koeffizienten 'a' ein (der Koeffizient von x²)
- Geben Sie den Koeffizienten 'b' ein (der Koeffizient von x)
- Geben Sie den Koeffizienten 'c' ein (der konstante Term)
- Überprüfen Sie die Art der Wurzeln basierend auf der Diskriminante
Berechnen Sie Diskriminante und Wurzeln quadratischer Gleichungen
Berechnen Sie die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und finden Sie ihre Wurzeln. Methode: Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a), a ≠ 0. Das Vorzeichen von Δ bestimmt reelle, doppelte oder komplexe Wurzeln.
Die Diskriminante sagt uns, ob die Wurzeln reell oder komplex sind und ob sie verschieden oder wiederholt sind, ohne die Gleichung tatsächlich zu lösen.
Interpretation der Diskriminante
| Diskriminantenwert | Art der Wurzeln | Graphisches Verhalten |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Zwei verschiedene reelle Wurzeln | Parabel schneidet x-Achse an zwei Punkten |
| Δ = 0 | Eine wiederholte reelle Wurzel | Parabel berührt x-Achse an einem Punkt (Scheitelpunkt) |
| Δ < 0 | Zwei komplex konjugierte Wurzeln | Parabel schneidet x-Achse nicht |
Die Quadratische Formel
Sobald Sie die Diskriminante kennen, können Sie die Wurzeln mit der quadratischen Formel finden:
x = (-b ± √Δ) / (2a)
Wobei:
- x die Wurzeln der Gleichung darstellt
- a, b, c die Koeffizienten von ax² + bx + c = 0 sind
- Δ die Diskriminante ist (b² - 4ac)
- ± bedeutet, dass es zwei Lösungen gibt (außer wenn Δ = 0)
Komplexe Wurzeln Verstehen
Wenn die Diskriminante negativ ist, sind die Wurzeln komplexe Zahlen. Komplexe Wurzeln kommen immer in konjugierten Paaren: a + bi und a - bi.
Zum Beispiel, wenn Δ = -16, dann ist √Δ = 4i, wobei i die imaginäre Einheit ist (i² = -1). Die Wurzeln würden als x = (-b ± 4i) / (2a) berechnet.
Anwendungsbeispiel
- Quadratischer Graph: x²−3x+2=0 → Δ=1; x=1,2.
Methode, Beispiel, Rundung und Grenzen
Methode: Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a), a ≠ 0. Das Vorzeichen von Δ bestimmt reelle, doppelte oder komplexe Wurzeln.
Beispiel: a=1, b=−3, c=2 → Δ=1, x₁=2, x₂=1; a=1, b=0, c=1 → Δ=−4, x=±i.
Rundung: Wurzelkomponenten werden mit sechs signifikanten Stellen dargestellt; dies ist die Anzeigegenauigkeit, keine garantierte Genauigkeit. Koeffizienten und Diskriminante behalten ihre berechnete Präzision.
Grenze: Wurzeln sind numerische Näherungen. Ein berechnetes |Δ| ≤ 2 × ε × max(|b²|, |4ac|), mit ε = Number.EPSILON ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶, wird als null behandelt und als doppelte Wurzel ausgegeben. Nahe dieser Schwelle beweist die Einordnung die Anzahl der Wurzeln nicht exakt. Nicht endliche Berechnungen werden abgelehnt.
Quelle: OpenStax. https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/2-5-quadratic-equations Goldberg, Oracle: https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html
Häufig gestellte Fragen
- Was bedeutet eine Diskriminante von Null?
- Eine Diskriminante von Null bedeutet, dass die quadratische Gleichung genau eine reelle Wurzel hat (eine wiederholte Wurzel). Grafisch bedeutet dies, dass die Parabel die x-Achse nur an ihrem Scheitelpunkt berührt.
- Kann die Diskriminante negativ sein?
- Ja, eine negative Diskriminante bedeutet, dass die quadratische Gleichung zwei komplex konjugierte Wurzeln hat. Die Parabel schneidet in diesem Fall die x-Achse nicht.
- Warum muss der Koeffizient 'a' ungleich Null sein?
- Wenn a = 0, wird die Gleichung zu bx + c = 0, was linear und nicht quadratisch ist. Die Diskriminante ist speziell für quadratische Gleichungen definiert, bei denen die höchste Potenz x² ist.
- Wie wird die Diskriminante in der quadratischen Formel verwendet?
- Die Diskriminante erscheint unter der Quadratwurzel in der quadratischen Formel: x = (-b ± √Δ) / (2a). Ihr Wert bestimmt, ob wir die Quadratwurzel einer positiven, null oder negativen Zahl ziehen, was die Art der Wurzeln beeinflusst.