Divergenz-Rechner – Vektorfeld-Divergenz
Berechnen Sie die Divergenz eines 3D-Vektorfeldes
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die Koeffizienten für die P-Komponente ein (Koeffizient von x, y, z)
- Geben Sie die Koeffizienten für die Q-Komponente ein (Koeffizient von x, y, z)
- Geben Sie die Koeffizienten für die R-Komponente ein (Koeffizient von x, y, z)
- Geben Sie den Punkt (x, y, z) ein, an dem Sie die Divergenz auswerten möchten
- Klicken Sie auf Berechnen, um das Divergenz-Ergebnis zu sehen
Was ist Divergenz?
Die Divergenz ist ein Vektoroperator, der die Stärke einer Quelle oder Senke eines Vektorfeldes an einem bestimmten Punkt misst. Mit anderen Worten sagt sie Ihnen, wie stark sich ein Vektorfeld an diesem Punkt 'ausbreitet' oder 'zusammenzieht'.
Für ein 3D-Vektorfeld F(x,y,z) = (P, Q, R) ist die Divergenz definiert als: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
Physikalische Interpretation
Die Divergenz hat wichtige physikalische Interpretationen:
- Positive Divergenz: Das Feld wirkt als Quelle (Fluid fließt nach außen)
- Negative Divergenz: Das Feld wirkt als Senke (Fluid fließt nach innen)
- Null-Divergenz: Das Feld ist inkompressibel (Volumen bleibt erhalten)
- In der Fluiddynamik: Divergenz misst die Expansions- oder Kompressionsrate
- Im Elektromagnetismus: Divergenz hängt mit der Ladungsdichte zusammen (Gauß'sches Gesetz)
Berechnung der Divergenz
Um die Divergenz eines Vektorfeldes F = (P, Q, R) zu berechnen:
- Bilden Sie die partielle Ableitung von P nach x: ∂P/∂x
- Bilden Sie die partielle Ableitung von Q nach y: ∂Q/∂y
- Bilden Sie die partielle Ableitung von R nach z: ∂R/∂z
- Addieren Sie diese drei partiellen Ableitungen: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
Zum Beispiel, wenn F(x,y,z) = (2x, 3y, 4z), dann ist div F = 2 + 3 + 4 = 9.
Anwendungen der Divergenz
- Fluiddynamik: Modellierung inkompressibler Strömung
- Elektromagnetismus: Gauß'sches Gesetz und Maxwell-Gleichungen
- Wärmeübertragung: Analyse von Wärmefluss und Temperaturverteilung
- Computergrafik: Simulation von Fluid- und Raucheffekten
- Wettermodellierung: Analyse atmosphärischer Drucksysteme
- Ingenieurwesen: Spannungsanalyse und Materialverformung
Der Divergenzsatz
Der Divergenzsatz (auch Gauß'scher Satz genannt) verbindet den Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche mit der Divergenz des Feldes im von der Oberfläche eingeschlossenen Volumen:
∫∫∫ (div F) dV = ∫∫ F · n dS
Dieser Satz ist fundamental in Physik und Ingenieurwesen und verbindet lokale Eigenschaften (Divergenz) mit globalen Eigenschaften (Fluss durch eine Grenze).
Häufig gestellte Fragen
- Was bedeutet positive Divergenz?
- Positive Divergenz bedeutet, dass das Vektorfeld an diesem Punkt als Quelle wirkt - die Feldvektoren zeigen nach außen, wie Fluid, das aus einer Quelle fließt. Die Größe gibt an, wie stark die Quelle ist.
- Was ist der Unterschied zwischen Divergenz und Rotation?
- Die Divergenz misst, wie stark sich ein Vektorfeld ausbreitet oder zusammenzieht (ergibt einen Skalar), während die Rotation misst, wie stark es sich dreht (ergibt einen Vektor). Die Divergenz verwendet die Notation ∇·F, die Rotation verwendet ∇×F.
- Kann die Divergenz negativ sein?
- Ja, negative Divergenz zeigt an, dass das Feld als Senke wirkt - Vektoren zeigen nach innen zu diesem Punkt. Zum Beispiel hätte ein Abfluss in einer Fluidströmung negative Divergenz.
- Was bedeutet Null-Divergenz?
- Null-Divergenz bedeutet, dass das Feld an diesem Punkt inkompressibel oder divergenzfrei ist. Die Menge des in ein kleines Volumen einfließenden Feldes entspricht der ausfließenden Menge. Dies ist wichtig für die Modellierung inkompressibler Fluide und magnetischer Felder.