Eigenwert-Rechner
Eigenwerte von 2×2- und 3×3-Matrizen auf Knopfdruck.
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Wähle, ob du mit einer 2×2- oder 3×3-Matrix arbeitest.
- Trage die numerischen Werte für jede Matrixposition in das Raster ein.
- Klicke auf Berechnen, um das charakteristische Polynom und die Eigenwerte zu bestimmen.
- Prüfe die Liste der Eigenwerte zusammen mit Spur, Determinante und Hinweisen zu komplexen Paaren.
Was ist ein Eigenwert?
Für eine quadratische Matrix A erfüllt ein Eigenwert λ die Gleichung A v = λ v für einen von Null verschiedenen Vektor v. Durch Lösen von det(A − λI) = 0 erhält man die Eigenwerte, die beschreiben, wie die Matrix Vektoren entlang bevorzugter Richtungen streckt oder spiegelt.
Eigenwerte fassen wichtige Eigenschaften zusammen, etwa ob wiederholte Multiplikation Signale verstärkt oder dämpft und ob die Transformation rotiert oder spiegelt.
Ergebnisse interpretieren
- Die Spur ist die Summe aller Eigenwerte.
- Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte.
- Eine negative Diskriminante signalisiert bei 2×2-Matrizen ein komplexes Paar.
- Mehrfache Eigenwerte können auf spezielle Strukturen wie Defekt oder Symmetrie hinweisen.
Häufig gestellte Fragen
- Warum erhalte ich komplexe Eigenwerte?
- Komplexe Eigenwerte treten auf, wenn das charakteristische Polynom eine negative Diskriminante oder keine reellen Nullstellen besitzt. Sie erscheinen als konjugiertes Paar und bedeuten, dass die Matrix Rotation mit Skalierung kombiniert.
- Kann ich damit auch Eigenvektoren bestimmen?
- Dieses Werkzeug konzentriert sich auf Eigenwerte und Invarianten. Kennst du einen Eigenwert, setze ihn in (A − λI)v = 0 ein und löse das lineare Gleichungssystem, um den zugehörigen Eigenvektor zu finden.