Gauß-Eliminierung Rechner – Lineare Systeme Lösen
Lösen Sie lineare Gleichungssysteme mit Gauß-Eliminierung mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Wählen Sie die Matrixgröße (2x2 oder 3x3)
- Geben Sie die Koeffizientenmatrix ein (eine Zeile pro Zeile)
- Geben Sie den konstanten Vektor ein (durch Leerzeichen getrennt)
- Klicken Sie auf Berechnen, um die Lösung mit Schritten zu sehen
Was ist Gauß-Eliminierung?
Die Gauß-Eliminierung ist eine Methode zum Lösen von Systemen linearer Gleichungen. Sie transformiert die erweiterte Matrix des Systems durch elementare Zeilenoperationen in Zeilenstufenform und verwendet dann Rückwärtssubstitution, um die Lösung zu finden.
Die Methode ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß benannt, obwohl die Technik den alten chinesischen Mathematikern bekannt war.
Wie Gauß-Eliminierung Funktioniert
- Bilden Sie die erweiterte Matrix [A|b] aus dem System Ax = b
- Vorwärtselimination: Verwenden Sie Zeilenoperationen, um Nullen unterhalb der Diagonale zu erzeugen
- Die Matrix ist jetzt in Zeilenstufenform (obere Dreiecksform)
- Rückwärtssubstitution: Lösen Sie die Variablen beginnend mit der letzten Gleichung
- Arbeiten Sie nach oben, um alle Variablenwerte zu finden
Elementare Zeilenoperationen
- Zeilentausch: Tauschen Sie zwei Zeilen
- Zeilenmultiplikation: Multiplizieren Sie eine Zeile mit einer von Null verschiedenen Konstante
- Zeilenaddition: Addieren Sie ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile
Häufig gestellte Fragen
- Wann hat ein System keine Lösung?
- Ein System hat keine Lösung, wenn die Matrix inkonsistent ist, was bedeutet, dass sich die Gleichungen widersprechen. Dies zeigt sich, wenn die Zeilenreduktion eine Zeile wie [0 0 | c] erzeugt, wobei c ≠ 0.
- Was ist eine singuläre Matrix?
- Eine singuläre Matrix hat eine Determinante von Null und repräsentiert ein System mit entweder keiner Lösung oder unendlich vielen Lösungen. Der Rechner erkennt dies und meldet einen Fehler.
- Kann dies größere Systeme lösen?
- Dieser Rechner verarbeitet 2×2 und 3×3 Systeme. Für größere Systeme wird spezialisierte Software aufgrund von Problemen mit der numerischen Stabilität empfohlen.