Geometrische Folge Rechner – Geometrische Sequenz
Berechnen Sie das n-te Glied, Summe und unendliche Summe geometrischer Sequenzen
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie das erste Glied der Sequenz ein
- Geben Sie das gemeinsame Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ein
- Geben Sie die Anzahl der Glieder ein, die Sie berechnen möchten
- Klicken Sie auf Berechnen, um das n-te Glied, Summe und Sequenz zu sehen
Was ist eine Geometrische Folge?
Eine geometrische Folge (GF) oder geometrische Sequenz ist eine Folge von Zahlen, bei der jedes Glied nach dem ersten gefunden wird, indem das vorherige Glied mit einer festen, von Null verschiedenen Zahl multipliziert wird, die als gemeinsames Verhältnis bezeichnet wird.
Zum Beispiel: 2, 6, 18, 54, 162... ist eine geometrische Folge mit erstem Glied a = 2 und gemeinsamem Verhältnis r = 3.
Wichtige Formeln
- n-tes Glied: a_n = a × r^(n-1), wobei a das erste Glied und r das gemeinsame Verhältnis ist
- Summe von n Gliedern: S_n = a × (1 - r^n) / (1 - r) wenn r ≠ 1
- Summe von n Gliedern: S_n = n × a wenn r = 1
- Unendliche Summe: S_∞ = a / (1 - r) wenn |r| < 1
Konvergenz und Divergenz
Eine geometrische Reihe konvergiert (hat eine endliche Summe) nur, wenn der Absolutwert des gemeinsamen Verhältnisses kleiner als 1 ist (|r| < 1). Wenn |r| ≥ 1, divergiert die Reihe und hat keine endliche Summe.
Häufig gestellte Fragen
- Was passiert, wenn das gemeinsame Verhältnis 1 ist?
- Wenn r = 1, sind alle Glieder in der Sequenz gleich dem ersten Glied. Die Summe von n Gliedern ist einfach n × a, wobei a das erste Glied ist.
- Kann eine geometrische Folge negative Glieder haben?
- Ja, wenn entweder das erste Glied oder das gemeinsame Verhältnis (oder beide) negativ ist, hat die Sequenz negative Glieder. Ein negatives gemeinsames Verhältnis erzeugt eine alternierende Sequenz.
- Wann existiert die unendliche Summe?
- Die unendliche Summe existiert nur, wenn |r| < 1. In diesem Fall werden die Glieder immer kleiner und nähern sich Null, sodass die Reihe zu einem endlichen Wert konvergieren kann.