Grenzwertrechner
Numerische Schätzung von ein- und zweiseitigen Grenzwerten.
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Gib eine Funktion einer Variablen mit x ein (z. B. sin(x)/x oder (x^2-1)/(x-1)).
- Wähle den Variablennamen, den Wert, gegen den x läuft, und ob du einen zweiseitigen oder einseitigen Grenzwert möchtest.
- Starte die Berechnung, um Punkte auf jeder Seite des Annäherungswerts zu beproben.
- Vergleiche die Schätzungen links und rechts, um zu entscheiden, ob der Grenzwert konvergiert.
Was beschreibt ein Grenzwert?
Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn der Eingang auf einen bestimmten Punkt zugeht. Stimmen Links- und Rechtsverhalten überein, existiert der zweiseitige Grenzwert. Bei Abweichungen oder Divergenz existiert er nicht.
- Zweiseitige Grenzwerte verlangen übereinstimmendes Verhalten von beiden Seiten.
- Einseitige Grenzwerte betrachten nur eine Richtung.
- Behebbare Sprungstellen können übereinstimmende Grenzwerte haben, auch wenn die Funktion am Punkt undefiniert ist.
Wie dieses Tool Grenzwerte schätzt
- Beprobt Funktionswerte mit zunehmend kleineren Abständen zum Annäherungspunkt.
- Verfolgt linke und rechte Folgen getrennt, um Asymmetrien sichtbar zu machen.
- Vergleicht die letzten Stichproben, um Konvergenz zu beurteilen.
- Meldet den geschätzten Grenzwert oder hebt Divergenz hervor, wenn die Seiten nicht übereinstimmen.
Numerisches Sampling liefert schnelle Intuition. Für symbolische Sicherheit oder Beweise kombiniere es mit algebraischen Techniken.
Häufig gestellte Fragen
- Warum sind linke und rechte Grenzwerte wichtig?
- Ein zweiseitiger Grenzwert existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen. Wenn sich linker und rechter Grenzwert unterscheiden oder eine Seite divergiert, existiert der Gesamtgrenzwert an dieser Stelle nicht.
- Kann das unendliche Grenzwerte behandeln?
- Der Rechner meldet Divergenz, wenn die Stichproben unbegrenzt wachsen oder nicht übereinstimmen. Vertikale Asymptoten lassen sich dennoch erkennen, indem du die Werte jeder Seite betrachtest.
- Ist das ein symbolischer Löser?
- Nein. Das Tool nutzt numerisches Sampling, um Grenzwerte zu approximieren. Für exakte Ergebnisse kombiniere es mit algebraischer Vereinfachung oder Regeln wie der von L'Hôpital.