Jacobi-Matrix Rechner
Bestimme Jacobi-Matrix, Determinante und Flächenskalierung für eine lineare Abbildung mit zwei Variablen.
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Gib die partiellen Ableitungen a11, a12, a21, a22 ein
- Lege den Punkt (x, y) fest, an dem du auswerten willst
- Berechne, um Jacobi-Matrix und Determinante zu sehen
- Prüfe Flächenskalierung und abgebildeten Punkt
Was der Jacobi aussagt
Die Determinante der Jacobi-Matrix erfasst lokale Skalierung und Orientierung: positive Werte erhalten die Orientierung, negative spiegeln sie und Null kollabiert die Fläche zu einer Linie oder einem Punkt.
- det > 0 → Orientierung erhalten
- det < 0 → Orientierung gespiegelt
- det = 0 → Abbildung kollabiert Fläche
Tipps für lineare Abbildungen
- Nutze |det J| als lokalen Flächenskalierungsfaktor
- Ist die Determinante nahe Null, ist die Abbildung an diesem Punkt schlecht konditioniert
- Für nichtlineare Abbildungen den Jacobi an mehreren Punkten auswerten, um lokales Verhalten zu verstehen
Häufig gestellte Fragen
- Warum ist die Determinante wichtig?
- Sie misst die lokale Skalierung: |det J| ist der Faktor, mit dem Flächen in der Nähe des Punkts gedehnt oder gestaucht werden. Das Vorzeichen zeigt, ob die Orientierung erhalten oder gespiegelt wird.
- Was, wenn die Determinante null ist?
- Die Abbildung kollabiert die Fläche und ist an diesem Punkt nicht lokal invertierbar. Passe die Transformation an oder wähle einen anderen Punkt.
- Kann ich nichtlineare Funktionen abbilden?
- Dieses Tool konzentriert sich auf lineare Abbildungen. Für nichtlineare Funktionen berechne zuerst die analytischen partiellen Ableitungen und setze deren Werte am gewünschten Punkt ein.