Komplexe Zahlen Rechner – Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren
Berechnen Sie Operationen mit komplexen Zahlen mit Betrag und Phase
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die Real- und Imaginärteile der ersten komplexen Zahl ein
- Wählen Sie die Operation (addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren)
- Geben Sie die Real- und Imaginärteile der zweiten komplexen Zahl ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um das Ergebnis mit Betrag und Phase zu sehen
Was sind Komplexe Zahlen?
Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die in der Form a + bi ausgedrückt werden kann, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist, die i² = -1 erfüllt. Der Realteil ist 'a' und der Imaginärteil ist 'b'.
Komplexe Zahlen erweitern das Konzept eindimensionaler Zahlengeraden auf eine zweidimensionale komplexe Ebene unter Verwendung der horizontalen Achse für den Realteil und der vertikalen Achse für den Imaginärteil.
Operationen mit Komplexen Zahlen
Operationen mit komplexen Zahlen folgen diesen Regeln:
- Addition: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- Subtraktion: (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
- Multiplikation: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
- Division: (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)
Wichtige Eigenschaften
- Betrag (Modul): |z| = √(a² + b²), der Abstand vom Ursprung
- Argument (Phase): arg(z) = atan2(b, a), der Winkel von der positiven reellen Achse
- Konjugierte: z* = a − bi, Spiegelung über die reelle Achse
- Eulersche Formel: e^(iθ) = cos(θ) + i·sin(θ)
Anwendungen
- Elektrotechnik: AC-Schaltungsanalyse und Impedanz
- Signalverarbeitung: Fourier-Transformationen und Frequenzanalyse
- Quantenmechanik: Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsamplituden
- Regelungstheorie: Übertragungsfunktionen und Systemstabilität
- Strömungsmechanik: Potentialströmung und konforme Abbildung
Häufig gestellte Fragen
- Was ist die imaginäre Einheit i?
- Die imaginäre Einheit i ist definiert als die Quadratwurzel von -1. Obwohl keine reelle Zahl i² = -1 erfüllt, ermöglicht die Einführung von i das Arbeiten mit Quadratwurzeln negativer Zahlen und das Lösen von Gleichungen, die keine reellen Lösungen haben.
- Wie dividiert man komplexe Zahlen?
- Um komplexe Zahlen zu dividieren, multiplizieren Sie sowohl Zähler als auch Nenner mit der Konjugierten des Nenners. Dies eliminiert den Imaginärteil im Nenner und hinterlässt eine reelle Zahl, durch die Sie dann dividieren können.
- Was ist der Unterschied zwischen Betrag und Argument?
- Der Betrag (oder Modul) ist der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung in der komplexen Ebene. Das Argument (oder Phase) ist der Winkel, der mit der positiven reellen Achse gebildet wird. Zusammen bilden sie die Polardarstellung einer komplexen Zahl.