Konvergenzintervall Rechner
Berechne Radius und Konvergenzintervall aus Quotienten- oder Wurzeltestgrenzen.
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Gib das Reihenzentrum a ein
- Trage den Grenzwert L des Quotienten-/Wurzeltests ein
- Wähle den Testtyp (Quotient oder Wurzel)
- Berechne Radius und offenes Intervall; teste die Randpunkte separat
Quotienten- und Wurzeltest nutzen
Für Potenzreihen Σ c_n (x - a)^n liefert der Grenzwert L des Quotienten- oder Wurzeltests den Konvergenzradius R = 1 / L. Ist L = 0, konvergiert die Reihe für alle x.
- Quotiententest: L = lim |c_{n+1} / c_n|
- Wurzeltest: L = lim |c_n|^{1/n}
- Radius: R = 1 / L (falls L ≠ 0)
Randpunkte prüfen
Das Konvergenzintervall ist typischerweise (a - R, a + R). Die Konvergenz bei x = a ± R hängt von getrennten Tests ab, etwa alternierenden Reihen, p-Reihen oder Vergleichstests.
Halte fest, welche Randpunkte konvergieren, um das endgültige (halb)offene oder abgeschlossene Intervall anzugeben.
Häufig gestellte Fragen
- Was passiert, wenn L = 0?
- L = 0 bedeutet, dass die Terme schneller schrumpfen als jede geometrische Folge; der Radius ist unendlich und die Reihe konvergiert für alle x.
- Was, wenn der Grenzwert nicht existiert?
- Quotienten- und Wurzeltest benötigen einen Grenzwert. Wenn er oszilliert oder divergiert, brauchst du einen anderen Test oder musst Teilerfolgen untersuchen.
- Wie behandle ich die Randpunkte?
- Setze x = a ± R in die Reihe ein und teste getrennt. Das Ergebnis kann an keinem, einem oder beiden Randpunkten konvergieren, was die Intervallnotation verändert.