Kreuzprodukt-Rechner – Vektorprodukt
Berechnen Sie das Kreuzprodukt zweier 3D-Vektoren
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die x-, y- und z-Komponenten des ersten Vektors ein
- Geben Sie die x-, y- und z-Komponenten des zweiten Vektors ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um das Kreuzprodukt-Ergebnis zu sehen
- Sehen Sie sich den resultierenden Vektor und seine Größe an
Was ist das Kreuzprodukt?
Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) ist eine binäre Operation auf zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum. Es erzeugt einen Vektor, der senkrecht zu beiden Eingabevektoren steht, mit einem Betrag, der der Fläche des von den beiden Vektoren gebildeten Parallelogramms entspricht.
Formel
Für Vektoren A = (a₁, a₂, a₃) und B = (b₁, b₂, b₃):
A × B = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)
Eigenschaften des Kreuzprodukts
- Anti-kommutativ: A × B = -(B × A)
- Distributiv: A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
- Nicht assoziativ: A × (B × C) ≠ (A × B) × C
- Senkrechtes Ergebnis: Das Ergebnis ist senkrecht zu beiden Eingabevektoren
- Null für parallele Vektoren: Wenn A und B parallel sind, ist A × B = 0
- Betrag: |A × B| = |A| |B| sin(θ), wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren ist
Anwendungen in der Praxis
Physik
- Berechnung des Drehmoments (τ = r × F)
- Magnetische Kraft finden (F = q(v × B))
- Drehimpuls (L = r × p)
- Bestimmung von Rotationsachsen
Ingenieurwesen und Computergrafik
- 3D-Modellierung und Rendering
- Berechnungen von Oberflächennormalen
- Kollisionserkennung
- Robotik und Bewegungsplanung
- Spieleentwicklung
Mathematik
- Finden senkrechter Vektoren
- Berechnung von Parallelogrammflächen
- Bestimmung von Ebenengleichungen
- Vektorraumoperationen
Wie man das Kreuzprodukt berechnet
Um A × B zu berechnen, wobei A = (a₁, a₂, a₃) und B = (b₁, b₂, b₃):
- X-Komponente: a₂b₃ - a₃b₂
- Y-Komponente: a₃b₁ - a₁b₃
- Z-Komponente: a₁b₂ - a₂b₁
Beispiel: A = (1, 2, 3) und B = (4, 5, 6)
- X = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3
- Y = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6
- Z = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3
Ergebnis: A × B = (-3, 6, -3)
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen Skalarprodukt und Kreuzprodukt?
- Das Skalarprodukt erzeugt einen Skalar (eine einzelne Zahl) und misst, wie sehr zwei Vektoren in die gleiche Richtung zeigen. Das Kreuzprodukt erzeugt einen Vektor, der senkrecht zu beiden Eingabevektoren steht, und misst die Fläche des von ihnen gebildeten Parallelogramms.
- Warum ist das Kreuzprodukt nur in 3D definiert?
- Das Kreuzprodukt ist speziell für 3D-Vektoren definiert, da es auf den einzigartigen Eigenschaften des dreidimensionalen Raums basiert. Obwohl es Verallgemeinerungen auf andere Dimensionen gibt, ist die Standard-Kreuzproduktoperation von Natur aus dreidimensional.
- Was bedeutet es, wenn das Kreuzprodukt null ist?
- Wenn A × B = 0, bedeutet dies, dass die Vektoren parallel sind (in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen). Der Betrag des Kreuzprodukts ist |A| |B| sin(θ), was null ist, wenn θ = 0° oder 180°.
- Wie bestimme ich die Richtung des Kreuzprodukts?
- Verwenden Sie die Rechte-Hand-Regel: Zeigen Sie mit Ihren Fingern in die Richtung des ersten Vektors, rollen Sie sie zum zweiten Vektor hin, und Ihr Daumen zeigt in die Richtung des Kreuzprodukts. Das Ergebnis ist senkrecht zu beiden Eingabevektoren.