Lagrange-Multiplikator Rechner
Optimiere ein quadratisches Ziel mit einer linearen Nebenbedingung.
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Gib die quadratischen Koeffizienten a, b, c für f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy ein.
- Lege die lineare Nebenbedingung d·x + e·y = k fest.
- Starte die Berechnung, um das Lagrange-System für x, y und λ zu lösen.
- Prüfe den optimierten Punkt und den Zielfunktionswert auf der Nebenbedingung.
So funktioniert das Lagrange-Verfahren
Lagrange-Multiplikatoren binden die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein, indem λ mal die Nebenbedingung hinzugefügt wird. Stationäre Punkte erfüllen die Gradientenbedingungen und die Nebenbedingung gleichzeitig.
- Bilde den Lagrange-Ansatz L = f(x, y) + λ(d x + e y - k).
- Setze die partiellen Ableitungen ∂L/∂x, ∂L/∂y und die Nebenbedingung gleich null.
- Löse das entstehende lineare System für x, y und λ.
- Bewerte die Zielfunktion am stationären Punkt, um das Verhalten unter der Nebenbedingung einzuordnen.
Modellannahmen in diesem Rechner
- Die Zielfunktion ist quadratisch in x und y: ax^2 + by^2 + cxy.
- Es gibt genau eine lineare Gleichungsnebenbedingung d·x + e·y = k.
- Ein eindeutiger stationärer Punkt existiert, wenn das lineare System lösbar ist.
- Ist die Determinante null, liefert das Verfahren keine eindeutige Lösung.
Nutze diese Einstellung für schnelle Intuition zu quadratischen Problemen mit Nebenbedingung. Komplexere Ziele oder mehrere Nebenbedingungen erfordern einen vollständigen symbolischen Löser.
Häufig gestellte Fragen
- Was ist, wenn d und e beide null sind?
- Die Nebenbedingung wird degeneriert und schränkt die Zielfunktion nicht ein. Gib mindestens einen von null verschiedenen Koeffizienten für die Nebenbedingung ein, um einen gültigen stationären Punkt zu finden.
- Woher weiß ich, ob dies ein Minimum oder Maximum ist?
- Das Tool gibt den stationären Punkt auf der Nebenbedingung aus. Zur Klassifizierung betrachte die quadratische Form (z. B. über Eigenwerte der Hesse) oder teste nahegelegene zulässige Punkte.
- Kann ich das auf mehr Variablen erweitern?
- Das Verfahren generalisiert, aber dieser Rechner konzentriert sich auf zwei Variablen mit einer linearen Nebenbedingung. Für größere Systeme nutze dieselben Gradienten- und Nebenbedingungen mit zusätzlichen Multiplikatoren.