Lineare Unabhängigkeit Rechner – Vektorunabhängigkeit Prüfen
Prüfen Sie, ob Vektoren linear unabhängig oder abhängig sind.
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie jeden Vektor in einer separaten Zeile mit durch Kommas oder Leerzeichen getrennten Komponenten ein
- Zum Beispiel: 1, 2, 3 in einer Zeile und 4, 5, 6 in der nächsten
- Klicken Sie auf Berechnen, um festzustellen, ob die Vektoren linear unabhängig sind
- Überprüfen Sie den Rang, die Determinante (für quadratische Matrizen) und RREF
Was ist Lineare Unabhängigkeit?
Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn kein Vektor in der Menge als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann. Äquivalent ist die einzige Lösung von c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0, wenn alle Koeffizienten c₁, c₂, ..., cₙ null sind.
Wenn mindestens eine nicht-triviale Kombination existiert (einige Koeffizienten sind ungleich null), sind die Vektoren linear abhängig.
Wie Man Lineare Unabhängigkeit Prüft
- Bilden Sie eine Matrix mit den Vektoren als Zeilen (oder Spalten)
- Wenden Sie Gaußsche Elimination an, um zur Zeilenstufenform zu reduzieren
- Zählen Sie die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen (den Rang)
- Wenn der Rang gleich der Anzahl der Vektoren ist, sind sie linear unabhängig
Für quadratische Matrizen können Sie auch die Determinante prüfen: wenn det ≠ 0, sind die Vektoren unabhängig.
Anwendungen der Linearen Unabhängigkeit
- Finden von Basen für Vektorräume
- Lösen von linearen Gleichungssystemen
- Bestimmen, ob eine Transformation invertierbar ist
- Signalverarbeitung und Datenkompression
- Merkmalsauswahl im maschinellen Lernen
Häufig gestellte Fragen
- Was bedeutet es, wenn Vektoren linear abhängig sind?
- Linear abhängige Vektoren enthalten Redundanz—mindestens ein Vektor kann als Kombination der anderen ausgedrückt werden. Das bedeutet, sie spannen nicht so viele Dimensionen auf wie es Vektoren gibt.
- Können mehr Vektoren als die Dimension unabhängig sein?
- Nein. In einem n-dimensionalen Raum können höchstens n Vektoren linear unabhängig sein. Jede Menge mit mehr als n Vektoren muss abhängig sein.
- Was ist die Beziehung zwischen Rang und Unabhängigkeit?
- Der Rang einer Matrix entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen (oder Spalten). Wenn Sie k Vektoren haben und der Rang k ist, sind alle Vektoren unabhängig.