Linearisierung Rechner – Lineare Approximation Finden
Finden Sie die lineare Approximation einer Funktion an einem Punkt.
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie Ihre Funktion in Standardnotation ein (z.B., x^2, sin(x), exp(x))
- Geben Sie den Variablennamen an (Standard ist x)
- Geben Sie den Punkt ein, an dem Sie die Funktion linearisieren möchten
- Klicken Sie auf Berechnen, um die lineare Approximation zu erhalten
Was ist Linearisierung?
Linearisierung ist der Prozess der Approximation einer Funktion in der Nähe eines Punktes mit ihrer Tangentenlinie. Die lineare Approximation L(x) am Punkt a ist gegeben durch: L(x) = f(a) + f'(a)(x - a), wobei f(a) der Funktionswert und f'(a) die Ableitung am Punkt a ist.
Diese Approximation funktioniert am besten für Werte von x nahe bei a. Je weiter x von a entfernt ist, desto ungenauer wird die Approximation.
Die Linearisierungsformel
- L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
- f(a) ist die y-Koordinate des Punktes auf der Kurve
- f'(a) ist die Steigung der Tangentenlinie
- (x - a) repräsentiert den horizontalen Abstand vom Punkt
Anwendungen der Linearisierung
- Approximation komplexer Funktionen durch einfachere lineare
- Fehlerabschätzung bei Messungen
- Physik: Kleinwinkelapproximationen (sin(θ) ≈ θ)
- Ingenieurwesen: Analyse von Systemen nahe Gleichgewichtspunkten
- Wirtschaft: Marginalanalyse
Häufig gestellte Fragen
- Wann ist die Linearisierung am genauesten?
- Die Linearisierung ist am genauesten, wenn x sehr nahe am Punkt a liegt. Der Approximationsfehler wächst, je weiter Sie sich von a entfernen, besonders bei Funktionen mit hoher Krümmung.
- Was ist der Unterschied zwischen Linearisierung und Taylor-Reihe?
- Linearisierung ist das Taylor-Polynom erster Ordnung—es verwendet nur den Funktionswert und die erste Ableitung. Taylor-Reihen können Terme höherer Ordnung für bessere Genauigkeit über größere Intervalle enthalten.
- Kann ich jede Funktion linearisieren?
- Sie können jede Funktion linearisieren, die am interessierenden Punkt differenzierbar ist. Wenn die Funktion dort eine Unstetigkeit oder Ecke hat, ist Linearisierung nicht möglich.