LU-Zerlegung Rechner – Matrizen in L und U Faktorisieren
Zerlegen Sie Matrizen in untere und obere Dreiecksfaktoren
Wie zu Verwenden
- Wählen Sie die Matrixgröße (2x2 oder 3x3)
- Geben Sie die Matrixelemente ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um die LU-Zerlegung zu sehen
- Überprüfen Sie die L- und U-Matrizen mit Verifikation
Was ist LU-Zerlegung?
Die LU-Zerlegung (auch LU-Faktorisierung genannt) ist eine Methode zur Faktorisierung einer Matrix A in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U, sodass A = LU. Die untere Dreiecksmatrix hat alle Nullen oberhalb der Diagonale, während die obere Dreiecksmatrix alle Nullen unterhalb der Diagonale hat.
Diese Zerlegung ist grundlegend in der numerischen linearen Algebra und wird umfassend zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, zur Berechnung von Determinanten und zum effizienten Finden von Matrixinversen verwendet.
Anwendungen der LU-Zerlegung
- Lösen von linearen Gleichungssystemen (Ax = b)
- Effiziente Berechnung von Matrixdeterminanten
- Finden von Matrixinversen
- Numerische Stabilität in Berechnungsalgorithmen
- Ingenieur- und Physiksimulationen
Doolittle-Methode
Dieser Rechner verwendet den Doolittle-Algorithmus, der die Diagonalelemente von L auf 1 setzt. Der Algorithmus berechnet systematisch die Elemente von U Zeile für Zeile und L Spalte für Spalte und stellt sicher, dass A = LU.
Häufig gestellte Fragen
- Was bedeutet es, wenn die LU-Zerlegung fehlschlägt?
- Die LU-Zerlegung ohne Pivotisierung schlägt fehl, wenn ein Null-Pivot auftritt, was bedeutet, dass die Matrix singulär ist oder die Zerlegung Zeilentausch erfordert. In solchen Fällen sollte die LU-Zerlegung mit partieller Pivotisierung (PA = LU) verwendet werden.
- Warum ist die LU-Zerlegung nützlich?
- Sobald eine Matrix in L und U zerlegt ist, wird das Lösen von Gleichungssystemen viel schneller. Anstatt Ax = b direkt zu lösen, lösen Sie Ly = b (Vorwärtssubstitution) und dann Ux = y (Rückwärtssubstitution), was rechnerisch effizient ist.
- Was ist der Unterschied zwischen L- und U-Matrizen?
- L (Untere Dreiecksmatrix) hat Nicht-Null-Elemente nur auf und unterhalb der Hauptdiagonale, mit 1en auf der Diagonale bei der Doolittle-Methode. U (Obere Dreiecksmatrix) hat Nicht-Null-Elemente nur auf und oberhalb der Hauptdiagonale.