Mittelpunktregel-Rechner – Numerische Integration
Approximieren Sie Integrale mit der Mittelpunktregel-Methode.
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die Funktion f(x) mit x als Variable ein
- Geben Sie die untere und obere Integrationsgrenze an
- Geben Sie die Anzahl der Teilintervalle (n) ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um die Approximation zu erhalten
Was ist die Mittelpunktregel?
Die Mittelpunktregel ist eine numerische Integrationstechnik zur Approximation des bestimmten Integrals einer Funktion. Sie funktioniert, indem das Intervall [a, b] in n gleiche Teilintervalle unterteilt wird und die Fläche unter der Kurve mit Rechtecken approximiert wird, deren Höhen durch den Funktionswert am Mittelpunkt jedes Teilintervalls bestimmt werden.
Die Formel lautet: ∫f(x)dx ≈ Δx × [f(x₁) + f(x₂) + ... + f(xₙ)], wobei Δx = (b-a)/n und xᵢ der Mittelpunkt des i-ten Teilintervalls ist.
Genauigkeit der Mittelpunktregel
Die Mittelpunktregel bietet typischerweise eine bessere Genauigkeit als die linke oder rechte Riemann-Summe, da der Mittelpunkt oft eine bessere Darstellung des durchschnittlichen Funktionswerts über jedes Teilintervall gibt.
- Erhöhung der Anzahl der Teilintervalle verbessert die Genauigkeit
- Der Fehler nimmt proportional zu 1/n² ab
- Funktioniert gut für glatte, stetige Funktionen
- Kann bei Funktionen mit schnellen Oszillationen Schwierigkeiten haben
Unterstützte Funktionen
Dieser Rechner unterstützt gängige mathematische Funktionen:
- Grundoperationen: +, -, *, /, ^ (Potenz)
- Trigonometrisch: sin(x), cos(x), tan(x)
- Exponentiell: exp(x), e^x
- Logarithmisch: log(x), ln(x)
- Andere: sqrt(x), abs(x)
- Konstanten: pi, e
Häufig gestellte Fragen
- Wie viele Teilintervalle sollte ich verwenden?
- Mehr Teilintervalle geben im Allgemeinen eine bessere Genauigkeit. Beginnen Sie mit 10-20 für eine grobe Schätzung und erhöhen Sie auf 100+ für höhere Präzision. Der Fehler nimmt ab, wenn n² zunimmt.
- Welche Funktionen kann ich eingeben?
- Verwenden Sie x als Variable. Unterstützte Operationen umfassen Grundrechenarten (+, -, *, /), Potenzen (^), trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan), sqrt, abs, log, ln, exp und die Konstanten pi und e.
- Warum unterscheidet sich mein Ergebnis vom exakten Integral?
- Die Mittelpunktregel liefert eine Approximation. Die Differenz zwischen der Approximation und dem exakten Wert wird als Fehler bezeichnet. Erhöhen Sie die Anzahl der Teilintervalle, um diesen Fehler zu reduzieren.
- Wann sollte ich die Mittelpunktregel verwenden?
- Verwenden Sie sie, wenn Sie Integrale approximieren müssen, die analytisch schwer oder unmöglich zu lösen sind, oder wenn Sie mit experimentellen Datenpunkten arbeiten.