Multiplikatives Inverses Modulo Rechner – Modulare Arithmetik
Finden Sie das modulare multiplikative Inverse einer Zahl.
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die Zahl (a) ein, deren Inverses Sie finden möchten
- Geben Sie den Modul (n) ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um das multiplikative Inverse zu finden
- Das Inverse existiert nur wenn ggT(a, n) = 1
Was ist ein Multiplikatives Inverses Modulo?
Das multiplikative Inverse einer Zahl 'a' modulo 'n' ist eine Zahl 'x', sodass (a × x) ≡ 1 (mod n). Mit anderen Worten, wenn Sie 'a' mit seinem Inversen 'x' multiplizieren und durch 'n' teilen, ist der Rest 1.
Zum Beispiel ist das multiplikative Inverse von 3 modulo 7 gleich 5, weil 3 × 5 = 15 ≡ 1 (mod 7).
Wann Existiert das Inverse?
Das multiplikative Inverse von 'a' modulo 'n' existiert genau dann, wenn 'a' und 'n' teilerfremd sind, d.h. ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) ist 1.
- Wenn ggT(a, n) = 1, existiert das Inverse und ist eindeutig modulo n
- Wenn ggT(a, n) > 1, existiert kein Inverses
- Für Primzahlmodul p hat jede Zahl ungleich Null ein Inverses
Erweiterter Euklidischer Algorithmus
Dieser Rechner verwendet den Erweiterten Euklidischen Algorithmus, um das multiplikative Inverse zu finden. Der Algorithmus findet ganze Zahlen x und y, sodass ax + ny = ggT(a, n). Wenn ggT(a, n) = 1, ist x das multiplikative Inverse.
Anwendungen
Modulare multiplikative Inverse sind in vielen Bereichen wesentlich:
- RSA-Verschlüsselung und -Entschlüsselung
- Lösen linearer Kongruenzen
- Chinesischer Restsatz
- Kryptographische Protokolle
- Fehlerkorrekturcodes
Häufig gestellte Fragen
- Warum hat meine Zahl kein Inverses?
- Ein multiplikatives Inverses modulo n existiert nur, wenn die Zahl und n teilerfremd sind (ihr ggT ist 1). Wenn sie einen gemeinsamen Faktor größer als 1 teilen, existiert kein Inverses.
- Wie wird dies bei der RSA-Verschlüsselung verwendet?
- Bei RSA ist der private Schlüssel d das multiplikative Inverse des öffentlichen Exponenten e modulo φ(n). Diese Beziehung ermöglicht die Entschlüsselung von Nachrichten, die mit dem öffentlichen Schlüssel verschlüsselt wurden.
- Was ist, wenn meine Zahl negativ ist?
- Der Rechner behandelt negative Zahlen, indem er sie zuerst in ihr positives Äquivalent modulo n umwandelt. Zum Beispiel ist -3 mod 7 = 4, also ist das Finden des Inversen von -3 mod 7 dasselbe wie das Finden des Inversen von 4 mod 7.
- Ist das Inverse immer eindeutig?
- Das Inverse ist eindeutig modulo n. Obwohl es unendlich viele Zahlen x gibt, die (a × x) ≡ 1 (mod n) erfüllen, unterscheiden sie sich alle um Vielfache von n und sind in der modularen Arithmetik äquivalent.