Newton-Verfahren Rechner – Wurzelfindungsalgorithmus
Finden Sie Nullstellen von Funktionen mit Newton-Raphson-Iteration.
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die Funktion f(x) mit x als Variable ein
- Geben Sie die Ableitung f'(x) der Funktion ein
- Geben Sie eine Anfangsschätzung nahe der erwarteten Nullstelle an
- Legen Sie die maximalen Iterationen und die Toleranz fest
- Klicken Sie auf Berechnen, um die iterative Approximation zu sehen
Was ist das Newton-Verfahren?
Das Newton-Verfahren, auch bekannt als Newton-Raphson-Verfahren, ist eine leistungsstarke numerische Technik zum Finden von Nullstellen einer Funktion. Es nutzt die Idee, dass eine stetige und differenzierbare Funktion durch eine Tangente an sie approximiert werden kann.
Die Iterationsformel lautet: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ), wobei f(x) die Funktion und f'(x) ihre Ableitung ist.
Wie Funktioniert Es?
Ausgehend von einer Anfangsschätzung x₀ verbessert das Verfahren wiederholt die Approximation:
- Werten Sie die Funktion f(xₙ) am aktuellen Punkt aus
- Werten Sie die Ableitung f'(xₙ) am aktuellen Punkt aus
- Berechnen Sie die nächste Approximation: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
- Wiederholen Sie, bis die Änderung kleiner als die Toleranz ist
Konvergenzbedingungen
Das Newton-Verfahren konvergiert quadratisch, wenn:
- Die Anfangsschätzung ausreichend nahe an der Nullstelle liegt
- Die Funktion stetig differenzierbar ist
- Die Ableitung an der Nullstelle ungleich Null ist
- Die Funktion eine einfache Nullstelle hat (Vielfachheit 1)
Das Verfahren kann fehlschlagen oder divergieren, wenn die Ableitung Null ist, die Anfangsschätzung schlecht ist oder die Funktion komplexes Verhalten nahe der Nullstelle zeigt.
Anwendungen
Das Newton-Verfahren wird häufig verwendet in:
- Berechnung von Quadratwurzeln und n-ten Wurzeln
- Lösung nichtlinearer Gleichungen
- Optimierungsprobleme (Finden kritischer Punkte)
- Computergrafik und Physiksimulationen
- Finanzberechnungen und Ingenieurwesen
Häufig gestellte Fragen
- Wie gebe ich die Funktion ein?
- Verwenden Sie 'x' als Variable. Unterstützte Operationen sind: +, -, *, /, ^ (Potenz), sqrt, sin, cos, tan, log, exp. Zum Beispiel 'x^3 - 2*x + 1' oder 'sin(x) - x/2'.
- Was wenn das Verfahren nicht konvergiert?
- Versuchen Sie eine andere Anfangsschätzung näher an der erwarteten Nullstelle, erhöhen Sie die Anzahl der Iterationen oder prüfen Sie, ob die Ableitung nahe Ihrer Schätzung Null ist. Einige Funktionen erfordern möglicherweise spezielle Behandlung.
- Warum muss ich die Ableitung eingeben?
- Das Newton-Verfahren benötigt die Ableitung, um die Tangente an jedem Punkt zu berechnen. Die Formel xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ) verwendet die Ableitung, um Richtung und Schrittweite zu bestimmen.
- Welche Toleranz sollte ich verwenden?
- Eine Toleranz von 0.0001 (10⁻⁴) ist für die meisten Anwendungen geeignet. Für höhere Präzision verwenden Sie kleinere Werte wie 10⁻⁸. Die Toleranz bestimmt, wann die Iteration basierend auf der Änderung zwischen aufeinanderfolgenden Approximationen stoppt.