Normalform zu Scheitelpunktform Rechner – Quadratische Umwandlung
Wandeln Sie quadratische Gleichungen von Normalform in Scheitelpunktform um.
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie den Koeffizienten a ein (der x²-Koeffizient, darf nicht null sein)
- Geben Sie den Koeffizienten b ein (der x-Koeffizient)
- Geben Sie den Koeffizienten c ein (der konstante Term)
- Klicken Sie auf Berechnen, um in Scheitelpunktform umzuwandeln
- Sehen Sie den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse und andere Eigenschaften
Was ist die Scheitelpunktform?
Die Scheitelpunktform ist eine Art, eine quadratische Funktion zu schreiben, die es einfach macht, den Scheitelpunkt (den höchsten oder niedrigsten Punkt) der Parabel zu identifizieren. Die Scheitelpunktform wird geschrieben als: f(x) = a(x - h)² + k, wobei (h, k) der Scheitelpunkt ist.
Die Normalform ax² + bx + c kann mit der Methode der quadratischen Ergänzung oder den Formeln h = -b/(2a) und k = c - b²/(4a) in die Scheitelpunktform umgewandelt werden.
Wie Man Umwandelt
Um von der Normalform in die Scheitelpunktform umzuwandeln:
- Berechnen Sie h = -b/(2a), um die x-Koordinate des Scheitelpunkts zu finden
- Berechnen Sie k = c - b²/(4a), um die y-Koordinate des Scheitelpunkts zu finden
- Schreiben Sie die Scheitelpunktform als a(x - h)² + k
- Der Koeffizient 'a' bleibt in beiden Formen gleich
Eigenschaften der Scheitelpunktform
Die Scheitelpunktform zeigt wichtige Eigenschaften der Parabel:
- Scheitelpunkt: Der Punkt (h, k) ist das Minimum oder Maximum der Funktion
- Symmetrieachse: Die vertikale Linie x = h teilt die Parabel symmetrisch
- Richtung: Wenn a > 0, öffnet die Parabel nach oben; wenn a < 0, öffnet sie nach unten
- Breite: Größeres |a| bedeutet eine schmalere Parabel; kleineres |a| bedeutet breiter
Anwendungen
Die Scheitelpunktform ist in vielen Kontexten nützlich:
- Finden von Maximum- oder Minimumwerten quadratischer Funktionen
- Schnelles Zeichnen von Parabeln durch Identifizierung des Scheitelpunkts
- Lösen von Optimierungsproblemen in Physik und Wirtschaft
- Analyse von Wurfbewegungen (maximale Höhe)
- Entwurf parabolischer Strukturen im Ingenieurwesen
Häufig gestellte Fragen
- Warum darf der Koeffizient 'a' nicht null sein?
- Wenn a = 0, wird die Gleichung linear (bx + c), nicht quadratisch. Eine quadratische Gleichung muss einen x²-Term haben, was a ≠ 0 erfordert.
- Was stellt der Scheitelpunkt dar?
- Der Scheitelpunkt (h, k) ist der Wendepunkt der Parabel. Wenn a > 0, ist es der Minimumpunkt; wenn a < 0, ist es der Maximumpunkt. Er repräsentiert den Extremwert der quadratischen Funktion.
- Wie finde ich die x-Achsenabschnitte aus der Scheitelpunktform?
- Setzen Sie die Gleichung gleich null und lösen Sie: a(x - h)² + k = 0. Dies ergibt x = h ± √(-k/a). Reelle Lösungen existieren nur wenn -k/a ≥ 0.
- Was ist quadratische Ergänzung?
- Quadratische Ergänzung ist eine algebraische Technik zur Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform. Sie beinhaltet das Addieren und Subtrahieren eines Terms, um ein vollständiges Quadrat zu erzeugen, das dann faktorisiert werden kann.